Cumulanti dei Processi ARMA

Al giorno d'oggi siamo talmente abituati ad associare l'idea di futuro alla probabilità che pianifichiamo la nostra stessa vita a partire da essa. Da qui lo spunto per scrivere la presente dissertazione con l'obiettivo di individuare un opportuno processo stocastico che si adatti alle osservazioni e che possa essere usato per formulare previsioni future. In letteratura è presente una gran mole di materiale riguardante processi stocastici Gaussiani per le loro proprietà. Tuttavia, in natura, si incontrano spesso processi non-Gaussiani (per esempio tutto ciò che concerne la teoria dei segnali). In questa dissertazione considereremo specifici modelli non-Gaussiani e i metodi di stima per i processi. In modo particolare, i cumulanti sono lo strumento principale utilizzato nel caso di processi non Gaussiani. Sono funzioni dei momenti del processo e sono diversi da zero solo nel caso di processo non Gaussiano. Il ruolo che svolgono, per processi non Gaussiani, è simile a quello svolto dalla covarianza campionaria nel caso Gaussiano: possono essere consistentemente stimati dai parametri del processo. I cumulanti di variabili aleatorie indipendenti sono additivi e quelli di processi Gaussiani sono zero. Questo significa che i cumulanti possono essere usati per combattere gli effetti del rumore additivo su un desiderato segnale non Gaussiano. La seguente dissertazione risulta essere così organizzata. Nel primo capitolo introduciamo le nozioni di processo stocastico stazionario e serie storica, le loro caratteristiche principali con particolare riferimento ai momenti e alla nozione di ergodicità. Inoltre analizziamo una classe di processi stocastici stazionari molto importanti nella modellizzazione delle serie storiche: i processi autoregressivi a media mobile (in inglese, autoregressive moving average processes), detti processi ARMA. Daremo anche la definizione di rumore bianco e di operatore ritardo. Il secondo capitolo è incentrato sulle statistiche di ordine superiore, ovvero sul comprendere come stimare un processo stocastico di ordine superiore al secondo, soprattutto nel caso di un processo non-Gaussiano. In modo particolare verranno introdotti i cumulanti e le loro proprietà sia per processi Gaussiani che non. Il terzo capitolo riguarda invece più nello specifico i cumulanti dei processi ARMA e in particolare la loro stima.