Lagrangiane di Helmholtz nelle teorie metriche e nelle teorie estese della gravità

The idea behind the work is to generalize some known results in the case of particular Lagrangians (the most studied in the literature is the Lagrangian f (R)) to the Lagrangian non-lienare by means of two generic functions in the scalar curvature and in the Ricci tensor without a trace. We then started by defining the geometric structure of space-time (differential mainfold), explained the reason for the study of alternative theories of gravity and recalled some useful tools in defining the studied Lagrangian: Riemann tensor, Ricci tensor, scalar curvature and Einstein tensor. We have set out three possible theories, by means of which it is possible to describe space-time: a purely metric theory (where the metric describes the geometry of space-time and the free fall of the masses), the purely affine theory (where there is only the connection which describes the geometry of space time and the dynamics of the masses) and the metric-affine theory (or Palatini) (where the metric describes the geometry of space-time and the connection the free fall of the masses).We have therefore defined a very useful mathematical tool in our study, namely the Legendre transform its generalization and the Helmholtz Lagrangian obtained from it, which is equivalent to the starting Lagrangian. Thanks to this tool we can make a change of variables that allows the passage from the "Jordan frame" to the "Einstein frame", in which it has been shown that the three theories are equivalent to general relativity.This allowed us to show that, as for the Lagrangian f (R), also for the Lagrangian we examined in a vacuum the solutions of the metric-affine theory are subset of the solutions of the purely metric theory. In the presence of matter we have only been able to make some observations.In the presence of matter we have only been able to make some observations. Furthermore we were able to study the link between the auxiliary fields obtained from the Legendre transformations. Setting ourselves in Minkowski space-time, we observed that the scalar field depends on the spin-2 field and we obtained the evolution equation for this field. Thus the only physically independent field is that of spin-2, as is known in the case of the quadratic Lagrangian.

L'idea alla base del lavoro è quella di generalizzare alcuni risultati noti nel caso di lagrangiane particolari (la più studiata in letteratura è la lagrangiana f(R)) alla lagrangiana non lienare tramite due generiche funzioni nella curvatura scalare e nel quadrato del tensore di Ricci senza traccia. Abbiamo quindi iniziato con il definire la struttura geometrica dello spazio-tempo (varietà differenziabile), spiegato il perché dello studio di teorie alternative della gravità e ricordato alcuni strumenti utili nel definire la lagrangiana studiata: tensore di Riemann, tensore di Ricci, curvatura scalare e tensore di Einstein. Abbiamo enunciato tre possibili teorie, mediante le quali è possibile descrivere lo spazio-tempo: teoria puramente metrica (dove la metrica descrive la geometria dello spazio-tempo e la caduta libera delle masse), la teoria puramente affine (dove vi è solo la connessione che descrive geometria dello spazio tempo e dinamica delle masse) e la teoria metrico-affine o alla Palatini (dove la metrica descrive la geometria dello spazio-tempo e la connessio la caduta libera delle masse). Abbiamo dunque definito uno strumento matematico molto utile nel nostro strudio, ovvero la trasformata di Legendre la sua generalizzazione e la lagrangiana di Helmholtz da questa ottenuta, che risulta essere equivalente alla lagrangiana di partenza. Grazie a tale strumento possiamo effettuare un cambio di variabili che permette il passaggio dal "Jordan frame" all'"Einstein frame", in cui si è mostrato che le tre teorie risultano equivalenti alla relatività generale. Ciò ci ha permesso di dimostrare che, come per la lagrangiana f(R), anche per la lagrangiana da noi presa in esame nel vuoto le soluzioni della teoria metrico-affine sono sottoinsieme delle soluzioni della teoria puramente metrica. In presenza di materia abbiamo solo potuto fare alcune osservazioni. Inoltre abbiamo potuto studiare il legame tra i campi ausiliari ottenuti dalle trasformazioni di Legendre. Ponendoci nello spazio-tempo di Minkowski, abbiamo osservato che il campo scalare dipende da quello di spin-2 e abbiamo ottenuto l'equazione di evoluzione per tale campo. Dunque l'unico campo fisicamente indipendere è quello di spin-2, come noto nel caso della lagrangiana quadratica.