Aritmetica delle forme quadratiche e cubiche

This thesis aims to examine the validity of the local-global principle, known as Hasse's theorem, for quadratic and cubic forms. First, we build the p-adic field, as the completion of the field of rationals with respect to a new norm, and we study its principal properties. Then we develop the theory of Hilbert symbol, that is related to the Quadratic Reciprocity Law of Gauss and provides a local-global point of view. We study then the arithmetic of quadratic forms in an arbitrary number of variables: in particular we focus on the research of non trivial solutions. The main result is the Hasse-Minkowski theorem, that allows us to review in a local way the representability of a rational by quadratic forms, using p-adic fields theory previously introduced. After we prove that the local-global principle doesn't extend to cubic forms, not even in the simplest case of forms in 3 variables, such as elliptic curves. Investigating the structure of the set of rational points on these curves, they turn out to be a finitely generated group. This result is known as Mordell-Weil theorem, and its proof is the primary aim of the last chapter.

La tesi si propone di esaminare la validità del principio locale-globale, noto come teorema di Hasse, nel caso delle forme quadratiche e cubiche. Per prima cosa viene costruito il campo dei numeri p-adici come completamento del campo dei razionali rispetto ad una nuova norma, e se ne studiano le proprietà principali. In seguito si sviluppa la teoria del simbolo di Hilbert, che si collega alla Legge di Reciprocità Quadratica di Gauss fornendo un punto di vista locale-globale. Si affronta quindi lo studio dell'aritmetica delle forme quadratiche in un numero arbitrario di variabili: in particolare ci si concentra sulla ricerca di soluzioni non banali. Il risultato principale in merito è il teorema di Hasse-Minkowski, che permette di rileggere in ambito locale il problema della rappresentabilità di un razionale tramite una forma quadratica, grazie alla teoria dei campi p-adici precedentemente introdotta. Si dimostra poi che il principio locale-globale non si estende alle forme cubiche, neanche nel caso più semplice di forme in 3 variabili, come le curve ellittiche. Indagando la struttura dell'insieme dei punti razionali di tali curve, questi si rivelano formare un gruppo finitamente generato. Tale risultato è noto come teorema di Mordell-Weil, la cui dimostrazione rappresenta l'obiettivo primario dell'ultimo capitolo.