Poliedri

Questa tesi comincia con il rintracciare le prime nozioni di poliedro nella storia della geometria, evidenziando come ciò abbia segnato tappe fondamentali nel suo sviluppo. Approda poi al teorema di Cartesio, un teorema tanto bello ed universale quanto a lungo dimenticato e sconosciuto, ed alla successiva formula sul poliedro di Eulero, che rappresenterà nelle idee e nella terminologia una ¿rivoluzione¿, staccandosi dalla tradizionale geometria poliedrica fino ad ottenere risultati topologici. Partendo dalla ricerca di una relazione di equivalenza per i poliedri, i cui primi cenni affiorano negli Elementi di Euclide (assioma 4, def. 10), si arriva alla dimostrazione di Cauchy dell'equivalenza delle due definizioni euclidee, da cui segue che i poliedri convessi devono essere rigidi (teorema di rigidità di Cauchy, il suo maggior contributo alla geometria). Tale convinzione, precedentemente espressa da Eulero e nota come Congettura di rigidità, è stata approfondita con lo studio della rigidità dello scheletro dei poliedri, portando Herman Gluck a dimostrare (inizio anni '70) che quasi tutti i poliedri sono rigidi, ovvero che la congettura di Eulero è ¿statisticamente vera¿. Ciò dà una prima risposta alla domanda se davvero tutti i poliedri siano rigidi, significando che se poliedri flessibili esistono, essi sono estremamente rari. Robert Connelly, deducendo da ciò l'ulteriore qualifica ¿estremamente improbabili da trovare per caso¿, concepisce una costruzione ad arte per smentire la congettura (controesempio alla Congettura di rigidità). Nel giugno del 1977 egli costruisce la sua sfera poliedrica flessibile, nota come la sfera di Connelly. Dal tentativo di ricercare esempi di poliedri meno complessi, emerge il più moderno poliedro flessibile di Steffen. L'esistenza di poliedri flessibili conduce a ritornare al punto inziale di questa indagine e a riconsiderare la congruenza, espressa come probabile migliore scelta di relazione di equivalenza per i poliedri, ridefinendo l'uguaglianza tra poliedri per tenere conto di questo dato. Si esamina infine che cosa si intende per simmetria nella geometria dei poliedri, descrivendo i diversi tipi di operazioni di simmetria ed esaminando i modi in cui essi possono essere combinati per produrre diversi sistemi di simmetrie. Ciò si realizza descrivendo gli elementi di simmetria, quali assi, piani e punti di simmetria, presenti in ogni sistema insieme alle loro posizioni relative. Si mostra un semplice schema per identificare correttamente e in modo inequivocabile, tra i 17 tipi possibili, il tipo di simmetria di un poliedro. Si ricorda come l'analisi matematica della simmetria abbia condotto alla teoria dei gruppi di simmetria, che attraversa il diciannovesimo secolo e il cui sviluppo deriva in gran parte dalla ricerca sulla natura dei cristalli. Si mette in luce il ruolo di Haüy, che nel 1801 scrive sulla struttura dei cristalli, suggerendo l'idea che svariate figure di cristallo possano essere formate impilando tanti piccoli blocchi congruenti, e di come l'importanza di questa teoria lo abbia condotto ad essere considerato il ¿padre della cristallografia¿.