Set-Theoretic Geology

Following the work of Hamkins, Fuchs and Reitz, we study the basic concepts of set-theoretic geology. In particular we recall the definitions of ground model, mantle and its generalization, namely the generic mantle, the ground axiom $\mathrm{GA}$ and the downward directed grounds hypothesis $\mathrm{DDG}$. We present the main result obtained by the cited authors: every model of {\tt ZFC} is the mantle of another model of {\tt ZFC}. Furthermore, Usuba has shown that the strong $\mathrm{DDG}$ is a theorem of {\tt ZFC}. Consequently, the mantle is a model of {\tt ZFC} and if the universe has some very large cardinal, then the mantle must be a ground. The aim of this thesis is to further deepen the connection between large cardinals and the class of ground models of $V$.

Seguendo il lavoro di Hamkins, Fuchs e Reitz, introduciamo i concetti base della cosidetta "Set-Theoretic Geology". In particolare richiamiamo le definizioni di "ground model", mantello e la sua generalizzazione, cioè il mantello generico, il "ground axiom" $\mathrm{GA}$ e la "downward directed ground hypothesis" $\mathrm{DDG}$. Presentiamo il principale risultato ottenuto dai suddetti autori: ogni modello di {\tt ZFC} è il mantello di un altro modello di {\tt ZFC}. Inoltre, Usuba ha in seguito dimostrato che la strong $\mathrm{DDG}$ è un teorema di {\tt ZFC}. Di conseguenza, il mantello è un modello di {\tt ZFC} e, se assumiamo l'esistenza di particolari grandi cardinali, allora il mantello deve essere un "ground". L'obiettivo della tesi è quello di approfondire il collegamento presente fra grandi cardinali e la classe dei ground di $V$.