Fan di Groebner e ideali torici

Le basi di Gröbner ricoprono un ruolo importante in molti settori sia teorici, sia applicativi. Alcune volte sarebbe utile non solo conoscere una base di Gröbner di un ideale ma poter scegliere, tra tutte le possibile basi rispetto ai differenti ordini monomiali, quella ¿migliore¿ per il problema che si vuole affrontare. Lo scopo di questa tesi è quello di presentare un complesso poliedrale, detto fan di Gröbner, che risponde al nostro interrogativo, infatti questo oggetto racchiude le informazioni riguardanti tutte le basi di Gröbner ridotte di un dato ideale. Nel Capitolo 1 viene introdotto il fan di Gröbner, la cui trattazione viene proposta prevalentemente nel caso di ideali omogenei. Il focalizzarsi su ideali omogenei è dovuto al fatto che in questo caso esiste un politopo, detto politopo di stato, il cui fan normale coincide con il fan di Gröbner. In particolare nel Capitolo 2 vengono presentati alcuni algoritmi per calcolare tali oggetti. Infine il Capitolo 3 viene dedicato al caso degli ideali torici, che sono ideali definiti tramite una matrice e presentano una struttura semplificata, essendo generati da binomi. In letteratura lo studio prevalente del fan di Gröbner di ideali torici è limitato al caso omogeneo, che sostanzialmente corrisponde al caso in cui una certa mappa ha fibre di cardinalità finita. Noi abbiamo accantonato la richiesta che le fibre abbiano cardinalità finita e abbiamo cercato un analogo del politopo di stato. Quello che si è trovato è che possibile estendere la costruzione fatta nel caso omogeneo da Sturmfels e Thomas al caso di ideali non omogenei. La non omogeneità fa si che in generale non si trovi un politopo ma solamente un poliedro, che tuttavia mantiene molte caratteristiche del politopo di stato e in particolare permette di trovare, calcolandone il fan normale, il fan di Gröbner dell'ideale in questione. Studiando le matrici che definiscono l'ideale torico abbiamo trovato che se queste soddisfano particolari ipotesi (piuttosto forti), allora il fan di Gröbner assume una forma particolarmente semplice, precisamente è formato da un solo cono di dimensione massima. Nella parte finale viene brevemente presentata la relazione tra fan secondario e fan di Gröbner nel caso omogeneo e viene proposta una congettura di un analogo risultato per il caso non omogeneo.