The Harmonic Homological Scaffold: Linking Harmonic Persistent Homology with Brain Data

In recent years, persistent homology has become a fundamental tool in topological data analysis, offering insights into the underlying shape of complex data. However, a key challenge remains in the ambiguity of selecting representative cycles for homology classes. This thesis presents the theory of harmonic persistent homology, introduced by Basu et al., as an extension of persistent homology that relies on Laplacian operators defined on simplicial complexes to address this ambiguity. By leveraging harmonic representatives, we are able to associate a unique cycle to each homology class, offering a novel methodological pipeline for topological data analysis. We test this pipeline within the well-established framework of Homological Scaffolds. These objects were introduced to study the characteristics of functional brain networks at the mesoscopic level and are able to represent the homological features of correlation networks, making their topological properties accessible to network-theoretical methods. In this work, we define new types of Homological Scaffolds based on harmonic representative cycles, called Harmonic Homological Scaffolds, and apply them to resting-state fMRI data, testing their ability to discriminate between subjects. We compare the results with those obtained using standard persistent homology and demonstrate that Harmonic Homological Scaffolds not only resolve the ambiguity problem through harmonic homology theory, but also produce equally robust results, offering more interpretable scaffolds in terms of local topological information for each persistent class.

Negli ultimi anni, la teoria dell'omologia persistente è diventata uno strumento fondamentale nell'analisi topologica dei dati, grazie alla sua abilità di restituire informazioni sulla struttura intrinseca dei dati. Tuttavia, un aspetto metodologico importante è l'ambiguità nella scelta dei cicli rappresentativi per le classi di omologia. In questa tesi viene affrontato questo problema, attraverso la teoria dell’omologia persistente armonica, introdotta da Basu et al., come variante dell’omologia persistente basata sull’utilizzo di un Laplaciano definito su complessi simpliciali. Il vantaggio di questa teoria è che, grazie all'utilizzo dei rappresentanti armonici, permette di associare a ciascuna classe di omologia un unico ciclo, offrendo un nuovo metodo per l'analisi topologica dei dati. Per testare questo nuovo metodo, utilizziamo il framework degli scaffolds omologici. Questi oggetti, originariamente sviluppati per studiare le caratteristiche delle reti neuronali a livello mesoscopico, sono in grado di raccogliere le caratteristiche omologiche delle reti di correlazione, rendendo le loro proprietà topologiche accessibili tramite i metodi della teoria dei grafi e delle reti. In questa tesi vengono definiti nuovi tipi di scaffolds omologici basati sui cicli rappresentativi armonici, chiamati scaffolds omologici armonici, e applicati a dati di fMRI a riposo per valutare la loro capacità di discriminare tra i diversi soggetti. Confrontando questi risultati con quelli ottenuti utilizzando l'omologia persistente standard, si nota come gli scaffolds omologici armonici non solo risolvano il problema dell'ambiguità grazie all'utilizzo della teoria dell'omologia armonica, ma siano anche in grado di produrre risultati altrettanto robusti, offrendo scaffolds contenenti un'informazione più ricca sulla topologia locale di ogni classe d'omologia persistente.