Il metodo Galerkin con funzioni a base radiale per l'equazione di Helmholtz

Questo lavoro approfondisce la risoluzione numerica dell'equazione Helmholtz attraverso il metodo di Galerkin con l'uso delle funzioni a base radiali. Dopo una parentesi introduttiva sulla definizione delle funzioni a base radiali, sulle loro principali proprietà e sullo studio di alcune classi di RBF, ci concentriamo sul metodo partizione dell'unità con spazio delle approssimanti dato dalle RBF per problemi di interpolazione. Il metodo partizione dell'unità è stato sviluppato negli ultimi decenni come valida alternativa ai metodi FEM tradizionali e alle loro difficoltà su modelli oscillanti o con domini variabili. Nel seguito viene ricavato il metodo di Galerkin 1D e 2D e, nello specifico, la sua formulazione con le funzioni radiali per l'equazione di Helmholtz con condizioni al bordo naturali omogenee. Si propone un algoritmo per l'approssimazione della soluzione del problema di Helmholtz che viene discusso e approfondito in più casi, al variare dell'insieme dei nodi su cui centrare le RBF e al variare del parametro di forma assegnato alle funzioni radiali. Infine, ci concentriamo sullo scopo principale di questo elaborato: la formalizzazione del metodo di Galerkin scegliendo come spazio delle funzioni test quello associato alla partizione dell'unità con funzioni a base radiale. Vengono riportati alcuni tentativi che si sono rivelati necessari per arrivare alla determinazione della formulazione teorica del metodo Galerkin PUM RBF per il problema di Helmholtz. La generazione del codice MATLAB sarà oggetto di future ricerche.