Linearised Equations in Field Theories

Linearised equations are physically justified by numerous entities, the most relevant being gravitational waves (GW). GW equations are usually obtained by linearising Einstein equations, but this method is not flawless in a covariant framework. A more geometric way to deduce linearised equations consists in using a Jacobi Lagrangian, that is, the variation of the Lagrangian L of the theory seen as a Lagrangian L’ on the vertical bundle. The field equations of L’ include indeed linearised equations. Starting from Hilbert-Einstein Lagrangian, linearised Einstein equations (with cosmological constant) are obtained. An Utiyama-like argument is then used to find constraints on the possible solutions of linearised Einstein equations. Finally, objects satisfying these constraints and solutions of linearised equations are found.

Le equazioni linearizzate sono giustificate da un punto di vista fisico da molte entità, tra cui le più rilevanti sono le onde gravitazionali. Normalmente, le equazioni delle onde gravitazionali sono ottenute linearizzando le equazioni di Einstein, ma questo metodo non è rigoroso in un contesto covariante. Un modo più geometrico di ricavare le equazioni linearizzate consiste nell'utilizzare una Lagrangiana di Jacobi, ovvero la variazione della Lagrangiana L della teoria vista come una Lagrangiana L' sul fibrato verticale. Le equazioni di campo di L' includono proprio le equazioni linearizzate. Partendo dalla Lagrangiana di Hilbert-Einstein, sono state ottenute le equazioni di Einstein linearizzate (con costante cosmologica). In seguito, è stato utilizzato un argomento alla Utiyama per trovare dei vincoli sulle possibili soluzioni delle equazioni di Einstein linearizzate. Infine, sono stati trovati oggetti che soddisfano questi vincoli e che sono soluzioni delle equazioni linearizzate.