Pseudodifferential Operators on Wiener Amalgam and Modulation Spaces

Il presente lavoro è stato presentato per il conseguimento della Laurea Magistrale in Matematica presso l'Università di Torino nell'anno 2017. Il contenuto principale della tesi è un risultato di continuità per operatori pseudodifferenziali di tipo Weyl con simbolo in spazi Wiener amalgam e agenti in spazi di modulazione, sottoposto in forma di articolo (di cui sono coautore) al Journal of Pseudo-differential Operators and Applications e accettato per la pubblicazione. Gli operatori pseudodifferenziali in esame risultano da una regola di quantizzazione eponima proposta da Hermann Weyl, la quale assegna un operatore $\mathrm{Op_{W}}\left(a\right)$ (la cosiddetta trasformata di Weyl, a una funzione $a$ nello spazio delle fasi $\mathbb{R}^{2d}$ (simbolo di Weyl). Tali operatori possono essere caratterizzati per mezzo di una annessa rappresentazione tempo-frequenza, la distribuzione di Wigner $W\left(f,g\right)$}, che per segnali $f,g$ nella classe di Schwartz $\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$ è definita come \[ W\left(f,g\right)\left(x,\omega\right)\coloneqq\int_{\mathbb{R}^{d}}e^{-2\pi iy\omega}f\left(x+\frac{y}{2}\right)\overline{g\left(x-\frac{y}{2}\right)}\mathrm{d}y \] L'operatore $\mathrm{Op_{W}}\left(a\right)$ di simbolo $a$ nello spazio delle distribuzioni temperate $\mathcal{S}'\left(\mathbb{R}^{2d}\right)$ è dunque definito per dualità dalla relazione \[ \left\langle \mathrm{Op_{W}}\left(a\right)f,g\right\rangle \equiv\left\langle a,W\left(g,f\right)\right\rangle \qquad f,g\in\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^{d}\right) \] Le proprietà di continuità per operatori di Weyl agenti su diversi tipi di spazi funzionali a partire da simboli in opportuni spazi di funzioni o distribuzioni sono state oggetto di investigazione da parte di vari autori. In questa prospettiva s'inquadra il lavoro qui presentato: sono state studiate le proprietà di continuità di operatori agenti su spazi di modulazione $M^{r_{1},r_{2}}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$, $1\le r_{1},r_{2}\leq\infty$ con simboli in spazi Wiener amalgam $W\left(\mathcal{F}L^{p},L^{q}\right)$ a componente locale $\mathcal{F}L^{p}$ e componente globale $L^{q}$, per $1\le p,q\leq\infty$. Il risultato principale può essere formulato, nel caso più semplice, come segue: Siano $1\leq p,q,r_{1},r_{2}\le\infty$ tali che \[ q\leq p' \] e \[ \max\left\{ r_{1},r_{2},r_{1}',r_{2}'\right\} \le p \] Ogni operatore di Weyl $\mathrm{Op_{W}}\left(a\right)\,:\,\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^{d}\right)\rightarrow\mathcal{S}'\left(\mathbb{R}^{d}\right)$ di simbolo $a\in W\left(\mathcal{F}L^{p},L^{q}\right)$ ammette un'estensione unica a un operatore agente su $M^{r_{1},r_{2}}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$ per cui vale la stima \[ \left\Vert \mathrm{Op_{W}}\left(a\right)f\right\Vert _{M^{r_{1},r_{2}}}\le C\left\Vert a\right\Vert _{W\left(\mathcal{F}L^{p},L^{q}\right)}\left\Vert f\right\Vert _{M^{r_{1},r_{2}}} \] per qualche costante $C>0$. In base allo stato delle conoscenze dello scrivente nel momento in cui è stato presentato l'articolo, si tratta del primo risultato in letteratura relativo a operatori agenti su spazi di modulazione con simboli in spazi amalgam.