Il V postulato: da Euclide alla geometria iperbolica

Dopo la pubblicazione degli Elementi di Euclide, nel III secolo a.C. molti matematici ebbero dei dubbi sulla veridicità del V postulato, conosciuto anche come "postulato delle parallele". Questo non risultava evidente all'intuito e la sua formulazione era complicata, tanto che si pensò che non dovesse essere assunto come assioma, ma piuttosto come un teorema. In quel periodo infatti la geometria stava assumendo un carattere teorico, volto a giustificare ogni affermazione con verifiche non sperimentali ma assiomatiche e ogni argomentazione, che non risultasse logica, doveva essere comprovata. A partire dal III secolo a.C. iniziarono una serie di tentativi di modifica del postulato: Posidonio, Playfair, Wallis, Saccheri sono solo alcuni dei nomi di matematici che sostituirono la formulazione originale con una loro e tentarono successivamente di dimostrare il postulato originale. Questi sforzi proseguirono nel corso degli anni, con esiti fallimentari, fino a che non si arrivò a una svolta decisiva. Nel XIX secolo d.C., con l'avvenire del Realismo, gli uomini sentirono il bisogno di rappresentare la realtà in cui si trovavano, senza nascondere gli aspetti problematici della vita. Fu un periodo di riforma del pensiero che non toccò solo l'ambito economico-politico e sociale, ma anche quello artistico e scientifico. In quest'ultimo Gauss, cercando di dimostrare il V postulato euclideo, arrivò alla rivoluzionaria conclusione che potevano esistere geometrie indipendenti dal postulato e diede inizio allo studio delle geometrie non euclidee, in particolare la geometria iperbolica. Nello stesso periodo, anche altri matematici, quali Bolyai, Lobacevskij e Schweikart arrivarono alla stessa conclusione e formularono teoremi, dando contributi alla formazione di questa nuova geometria. Inizialmente la geometria iperbolica risultò sorprendente e paradossale e solo nel corso del tempo trovò una naturale collocazione ed una giustificazione rigorosa e logica. Anche se all'inizio sembrò solo frutto della negazione del V postulato, si capì che questa era una vera e propria geometria, indipendente da quella euclidea e a se stante. Questa tesi si occupa inizialmente della storia dell'evoluzione del V postulato di Euclide, analizzando alcuni tentativi di dimostrazione dello stesso, e della nascita della geometria iperbolica, trattando vari modelli matematici e alcune proposizioni.