Generalized diffusions and Feynman-Kac theorems

The Feynman-Kac representation theorems provide an interesting link between diffusions and partial differential equations theory. Many generalizations have been studied, and in the article Feynman-Kac theorems for generalized diffusions by Ekström, Janson and Tysk it is shown how one can generalize the construction of diffusions to obtain stochastic representations of specific distribution equations. We begin with an introduction of Itô's integral and local times, which are fundamental tools that provide key results for the theory we will explore. Next, we focus on stochastic differential equations and how they can be used to construct diffusions. In particular, we prove the classical Feynman-Kac representation theorem. Finally, we turn our attention to generalized diffusions, gathering useful properties and proving the Feynman-Kac representation theorem.

I teoremi di rappresentazione di Feynman-Kac forniscono un collegamento interessante tra processi di diffusione e equazioni a derivate parziali. Molte generalizzazioni sono state studiate, e nell'articolo Feynman-Kac theorems for generalized diffusions di Ekström, Janson and Tysk viene mostrato come generalizzare la costruzione di un processo di diffusione al fine di ottenere una rappresentazione stocastica di specifiche equazioni di distribuzioni. Si inizia con una introduzione dell'integrale di Itô e tempi locali, strumenti fondamentali per la teoria che verrà afffrontata. In seguito, ci concentriamo sulle equazioni differenziali stocastiche e di come sono usate per costruire processi di diffusione. In particolare il classico teorema di rappresentazione di Feynman-Kac viene dimostrato. Infine, ci concentriamo sulle diffusioni generalizzate, dimostrando proprietà utili e mostrando come il teorema di rappresentazione di Feynman-Kac può essere generalizzato.