Metodo Monte Carlo con Applicazioni Finanziarie

The dissertation analyzes the Monte Carlo method (MC) used for financial applications. The essay is made up of four chapters, each of which provides useful information to place probabilistic basis in order to get to understand finally the MC method functioning for the “Options Pricing” application. The first chapter provides a short introduction to MC method. In particular the story of its birth is included and some helpful economic notions have been inserted to comprehend the financial problem. The second chapter illustrates some random variables simulations in a more mathematical and formal manner. In this section, different relevant methods used to simulate several random variables are shown, pointing out various theoretical and algorithmic issues. On the other hand, the third chapter treats two stochastic processes simulations: the Poisson Process and the Brownian Motion. These processes are essential for building up stochastic paths on which, then, the Monte Carlo method is modeled for the Option Pricing. This chapter is closed up by the analysis of variance reduction techniques since it is fundamental to control the level of error made in the estimates of amounts carried out in order to obtain consistent results. Lastly, the fourth chapter presents two applications of the techniques introduced in previous chapters. The first is a classic sample that shows how the MC method is used to achieve an estimate of π value. Whereas, the second, main object of this thesis, is the application to the Option Pricing through the use of “path integral”. All the proposed algorithms have been implemented using software Matlab.

La tesi analizza il metodo Monte Carlo (MC) applicato al mondo finanziario. Il lavoro è formato da quattro capitoli, ognuno dei quali fornisce delle informazioni utili per porre delle basi probabilistiche per arrivare, alla fine, a comprendere il funzionamento del metodo MC nell’applicazione dell’ “Options Pricing”. Il primo capitolo consiste in una breve introduzione al metodo MC. In particolare si è riportata la storia della sua nascita e sono state inserite alcune nozioni economiche utili a comprendere il problema finanziario. Il secondo capitolo tratta la simulazione delle variabili aleatorie con un taglio più matematico. Si sono studiati diversi metodi utili a simulare le diverse variabili casuali, sottolineando le diverse problematiche teoriche e algoritmiche. Il terzo capitolo tratta, invece, le simulazioni di due processi stocastici: il Processo di Poisson e il Moto Browniano. Questi risultano essere importanti in quanto costituiscono le traiettorie stocastiche su cui poi si basa il metodo Monte Carlo per l’Options Pricing. Si conclude, poi, con l’analisi delle tecniche per la riduzione della varianza utili a controllare “il grado di errore” che si sta commettendo nelle stime effettuate, in maniera tale da avere dei risultati consistenti. Infine, il quarto capitolo illustra due applicazioni delle tecniche introdotte nei capitoli precedenti. La prima è un classico esempio che mostra l’uso del metodo MC per ottenere una stima del valore π. La seconda, invece, oggetto principale di questa tesi, è l’applicazione al pricing dell’opzione attraverso il “path integral”. Gli algoritmi proposti sono stati implementati utilizzando il software Matlab.