Punti Razionali su Curve Ellittiche

Un quesito classico della matematica è la ricerca e lo studio delle soluzioni intere e razionali di equazioni polinomiali. Chiaramente questo problema assume difficoltà diverse a seconda del numero di incognite coinvolte. Quando ne abbiamo solo una, il numero di soluzioni possibili è finito ed è possibile trovare quelle intere e razionali sapendo che il numeratore di una tale soluzione deve dividere il termine noto mentre il denominatore deve dividere il coefficiente del termine di grado massimo. Invece quando le incognite diventano due la questione si fa già più interessante e la possibilità di dare o meno una risposta dipende sostanzialmente dal grado del polinomio che definisce l’equazione. Quando il grado è uno o due, è possibile stabile se esistono soluzioni razionali e, in caso di risposta affermativa, è abbastanza immediato determinarle completamente . Qui ci occuperemo dunque del caso in cui il polinomio ha grado 3 e in daremo una risposta (parziale) a queste due domande: 1. Se ci sono finite soluzioni, è possibile trovare una loro caratterizzazione? 2. Se invece sono infinite, è possibile trovare una procedura per determinarle a partire da un insieme finito di partenza? Non ci occuperemo invece di stabilire se esistano o meno tali soluzioni e, a tal propo?sito, durante tutta la trattazione ci occuperemo solo di equazioni di cui conosciamo già almeno una soluzione razionale. Affronteremo il problema da un punto di vista geometrico, infatti l’insieme delle soluzioni di un equazione del tipo f(x, y) = 0, dove f denota un polinomio di grado 3, determina una curva algebrica C = {(x, y) ∈ C × C | f(x, y) = 0} ⊆ C × C. Sarà utile considerare in partenza anche le soluzioni complesse e non solo reali di un’equazione di tal genere e, anzi, vedremo che sarà fondamentale supporre che la curva non sia solo contenuta in C × C, ma nella sua estensione naturale P2(C). Nel primo capitolo dunque daremo alcune definizioni di base di geometria proiettiva e vedremo come è possibile definire una curva in P2(C). Nel secondo capitolo capiremo perché è utile affrontare il problema da una prospettiva geometrica, definendo una legge per sommare i punti su una curva che si basa sostanzialmente sul seguente principio: “Una retta interseca una cubica in tre punti, se contati in modo opportuno.” Questo ci permetterà, quando la curva non è singolare, di equipaggiarla di una struttura di gruppo (C, +). Vedremo inoltre che l’insieme dei punti a coordinate razionali, che corrispondono alle soluzioni razionali dell’equazione di partenza, forma un sottogruppo, denotato con C(Q), di C. Infine nel terzo capitolo introdurremo due importanti risultati: il teorema di Mordell e il teorema di Nagell-Lutz. Infatti il primo afferma che il sottogruppo C(Q) è finitamente generato, il secondo invece dà una caratterizzazione esaustiva dei punti di ordine finito. Questi due teoremi, insieme ad alcune osservazioni aggiuntive, ci daranno degli strumenti efficaci per rispondere alle domande di sopra in maniera abbastanza completa.