Teoria del Controllo Ottimo

Differential equations can be used to model different dynamic systems: they play a fundamental role in the mathematical aspect of areas such as physics, engineering, biology, economics and finance. In this thesis we analyze the behavior of dynamic systems when a parameter, called control parameter, varies. In particular, the goal of this study is to find a control for a dynamic system that optimizes costs or consumption, that is, given a certain input, we try to obtain the best output. Therefore, analytical tools are provided to define the concepts of controllability and observability necessary to understand whether there may exist a control capable of directing the system towards a certain desired state. We also introduce the bang bang control, a particular parameter used in minimum time problems. Finally, we show the dynamic programming method useful for determining optimal control and its application to differential games. Future research could be aimed at developing new analytical and/or numerical methods to find solutions to dynamic optimization problems. A very general mathematical formulation can subsequently be applied to different more concrete fields.

Le equazioni differenziali permettono di modellizzare diversi sistemi dinamici: hanno un ruolo fondamentale per quanto riguarda l’aspetto matematico di ambiti quali la fisica, l’ingegneria, la biologia, l’economia e la finanza. In questa tesi si analizza il comportamento dei sistemi dinamici al variare di un parametro, detto parametro di controllo. In particolare, l’obiettivo di questo studio è trovare un controllo per un sistema dinamico che ottimizzi i costi o i consumi, ossia dato un certo input si cerca di ottenere l’output migliore. Vengono pertanto forniti strumenti analitici per definire i concetti di controllabilità ed osservabilità necessari per capire se possa esistere un controllo in grado di indirizzare il sistema verso un determinato stato desiderato. È inoltre introdotto il controllo bang bang, un particolare parametro che si usa nei problemi di tempo minimo. Per concludere viene mostrato il metodo di programmazione dinamica utile per determinare un controllo ottimo ed una sua applicazione ai giochi differenziali. Ricerche future potrebbero essere volte a sviluppare nuovi metodi analitici e/o numerici per trovare soluzioni a problemi di ottimizzazione dinamica. Una formulazione matematica molto generale può successivamente essere applicata a differenti ambiti più concreti.