Interpolazione di una rete di curve mediante superfici B-spline a regolarità variabile con parametri liberi

In questa trattazione ci dedicheremo allo studio di particolari metodi che consentono di ottenere superfici a partire da una rete di curve che viene interpolata. Considereremo due tipologie differenti di superfici B-spline, mettendo in luce sia le analogie e le differenze dal punto di vista teorico, sia i vantaggi e gli svantaggi nelle rappresentazioni grafiche. Ci occuperemo, in particolare, di superfici B-spline tensore prodotto biquadratiche e superfici B-spline quadratiche su triangolazioni criss-cross e introdurremo anche nodi doppi o tripli all'interno delle partizioni del dominio dei parametri per realizzare superfici con differenti regolarità. Questo ci permetterà di riprodurre superfici che presentano spigoli o salti al loro interno, in modo da avere la possibilità di rappresentare un maggior numero di oggetti. Nel primo capitolo richiameremo alcune definizioni e proprietà che riguardano gli strumenti matematici appena descritti, soffermandoci sia sulle superfici B-spline tensore prodotto, sia sulle superfici B-spline quadratiche su triangolazioni criss-cross. Per queste ultime distingueremo tra la forma polinomiale e quella di Bernstein-Beziér, ed esamineremo anche superfici con continuità $C^{0}$ e $C^{-1}$. Nel secondo capitolo definiremo una rete di curve B-spline da interpolare, che soddisfi determinate condizioni di compatibilità per garantirne l'esistenza. A partire dal sistema ottenuto, studieremo la struttura delle matrici nel caso di partizioni uniformi e non uniformi, prendendo in considerazione anche nodi multipli. Nel terzo capitolo costruiremo una superficie B-spline che interpola la rete di curve data e che può essere tensore prodotto o triangolare, a seconda delle funzioni di base scelte. Cercheremo una formula generale che ci consenta di calcolare i punti di controllo della superficie sfruttando quelli della rete di curve, sia nel caso di configurazione minima, cioè quando i nodi della superficie coincidono con quelli della rete, sia nel caso di configurazione non minima, quando esistono nodi a cui non viene associata una curva. Nel quarto capitolo seguiremo la stessa impostazione del capitolo precedente, tenendo conto della presenza di nodi doppi e tripli nel dominio della superficie. Tutta la trattazione teorica sarà accompagnata dai risultati numerici e grafici, in modo da visualizzare la superfici costruite, ottenuti con procedure computazionali implementate mediante il software Matlab e riportate in Appendice.