Alcune generalizzazioni delle formule di monotonia di Alt-Caffarelli-Friedman e Caffarelli-Jerison-Kenig

Monotonicity formulae(m.f.) are peculiar tools, introduced for the first time in 1984 to deal with free boundary problems(f.b.p.) and in particular to understand the behaviour of interfaces. A classical example considers a container whose interior is filled with water and a piece of ice, solving this f.b.p. means knowing, as the time flows, the temperature in each point(differential equation) and the shape of the border between the two states(free boundary). In particular, m.f. are exploited to evaluate the regularity of the free boundary and the solution to the f.b.p., but they are also interesting on their own because encourage to deepen the study of spectral properties, measure-theoretic features, differential geometry problems and much more. The purpose of this master thesis is to introduce some recent developments in the theory of m.f. . This paper, after an introductory chapter, that deals with well known geometric inequalities, is split in two parts: classical results and latest enhancements, each one divided in three chapters. In the first one we present the Alt-Caffarelli-Friedman(ACF) monotonicity formula, one of the two pillars of the dissertation. The main obstacle that we have to tackle to prove this fact is the Friedland-Hayman inequality, here, it is reduced to an optimal partition problem on the sphere and proved with a convexity argument. Moreover taking into account problems with multiple phases, some new m.f. appears. The next chapter presents the Caffarelli-Jerison-Kenig(CJK) formula, the other cornerstone of our presentation, which deals with slightly superharmonic functions. This is not a real m.f., rather some arithmetic-geometric means variant of the precedent. In the first part of the proof we show a quasi-monotonicity lemma, then an iterative argument on ball with radii decreasing to 0 wraps up the demonstration. Chapter three presents the results which extend of the previous formulae to manifolds. The second part, instead, symmetrically to the first, introduces some latest result. Chapter four begins to develop an anisotropic theory(the behaviour varies changing directions), in particular we deal with diagonal elliptic operators with constant coefficients, for which asymmetric tools are established. Moreover some fundamental differences arises, for example the power of the radius from the original ACF formula needs to be lessen and the same happens for the optimal exponent of a Liuville-type Theorem. In the next chapter, we observe that, with an approximation argument, continuity assumption in CJK formula could be dropped. In addition a multiphase formula is introduced and a shorter proof, that relies on an recursive procedure as well, is presented. In the last chapter we exhibit the latest progress in terms of ACF monotonicity formula on the Heisenberg group. We study this space, aware that the result comparable to the isoperimetric inequality is not available for the Koranyi ball, then some necessary conditions for monotonicity are developed.

Le formule di monotonia(f.m.) sono strumenti particolari, introdotti per la prima volta nel 1984 per trattare i problemi di frontiera libera(p.f.l) ed in particolare per comprendere il comportamento delle interfacce. Un esempio classico considera un contenitore il cui interno è riempito d'acqua e di un pezzo di ghiaccio, risolvere questo p.f.l. significa conoscere, al variare del tempo, la temperatura in ogni punto(equazione differenziale) e la forma del luogo di contatto tra i due stati(frontiera libera). In particolare, le f.m. sono utilizzate per determinare la regolarità della frontiera libera e della soluzione del p.f.l., ma sono anche interessanti singolarmente poiché incoraggiano lo studio di proprietà spettrali, nozioni di teoria della misura, problemi di geometria differenziale e molto altro. Lo scopo di questa tesi magistrale è di introdurre alcuni recenti sviluppi nella teoria delle m.f.. Questo lavoro, dopo un capitolo introduttivo, che si occupa di disuguaglianze geometriche ben note, è diviso in due parti: risultati classici e recenti miglioramenti, ognuno diviso in tre capitoli. Nel primo presentiamo la formula di monotonia di Alt-Caffarelli-Friedman(ACF), uno dei due pilastri della nostra dissertazione. L'ostacolo principale da superare per provare questo fatto è la disuguaglianza di Friedland-Hayman, qui, è ridotto a un problema di partizione ottimale sulla sfera e dimostrato con un argomento di convessità. Inoltre nuove m.f appaiono considerando problemi con fasi multiple. Il capitolo successivo presenta la formula di Caffarelli-Jerison-Kenig(CJK), l'altra pietra d'angolo della nostra presentazione, che si occupa di funzioni superarmoniche. Questa non è una reale formula di monotonia, bensì una variante di tipo media aritmetico-geometrica della precedente. Nella prima parte della dimostrazione mostriamo un lemma di quasi-monotonia, poi si conclude con un ragionamento iterativo su palle i cui raggi tendono a zero. Il capitolo tre presenta risultati che estendono le formule precedenti alle varietà. La seconda parte, invece, simmetricamente alla prima introduce alcuni nuovi risultati. Il capitolo quattro inizia a sviluppare una teoria anisotropa(il comportamento cambia variando direzione), in particolare ci occupiamo di operatori ellittici diagonali a coefficienti costanti per i quali strumenti asimmetrici sono sviluppati. Inoltre alcune differenze fondamentali appaiono, per esempio la potenza del raggio della formula ACF originale deve essere diminuita e lo stesso accade per l'esponente ottimale di un teorema di tipo Liuville. Nel capitolo successivo, osserviamo che l'ipotesi di continuità nelle formula CJK può essere eliminata. In più una formula multifase è introdotta ed e presentata una dimostrazione più corta, che si basa ancora su una procedura ricorsiva. Nell'ultimo capitolo esibiamo i progressi più recenti in termini di f.m. ACF nel gruppo di Heisenberg. Studiamo questo spazio, consapevoli che risultati simili alla disuguaglianza isoperimetrica non sono disponibili per la palla di Koranyi, poi alcune condizioni necessarie per la monotonia vengono stabilite.