Il problema dei due corpi in Relatività Generale

There are several theories for dealing with problems of Celestial Mechanics. Because of the weak gravitational field and slow motion conditions, the Newtonian formalism is often adequate for describing the problems encountered. However, when General Relativity had not been formalized yet, Newton's theory failed to predict the precession of Mercury's perihelion. Einstein formulated Relativity General, a classical field theory that produces second-order nonlinear differential equations for the metric tensor g, which has 10 independent components. The exact solution of these equations is almost never straightforward; in fact, one often proceeds to solve them numerically or by approximation methods depending on the field conditions. We are interested in the latter, which provide solutions that increase in accuracy as the order of approximation increases. We will see in this work the post-Minkowskian theory, which is valid under weak field conditions. It is based on a reformulation of Einstein's equations, due to Landau and Lifschitz, which will lead to the relaxed field equations. We will then formalize the post-Newtonian theory, valid with the addition of the slow motion condition and therefore ideal for motions within the Solar System. Iteration of the relaxed equations and idealization of the source as a perfect fluid will allow to derive the PN metric of spacetime through laborious calculations. The goal of this work is to provide a broad overview on the two-body problem, via an approach that aims to be as self-sufficient and consistent as possible. We will try to provide all the tools to deal with the problem, from solid mathematical roots of Differential Geometry to General Relativity itself, of which we will delve into the PN expansion to the first-order approximation, with the aim of formalizing the two-body problem and derive the equations of motion. We will compare the results obtained in the classical case with the relativistic ones and we will see that they have very similar structure in terms of the effective one-body problem and orbital elements.

Esistono svariate teorie per trattare i problemi di Meccanica Celeste. A causa delle condizioni di campo gravitazionale debole e di moti lenti, in molti casi il formalismo Newtoniano risulta adeguato alla descrizione dei problemi che si incontrano. Tuttavia, quando ancora la Relatività Generale non era stata formalizzata, la teoria di Newton fallì nel predire la precessione del perielio di Mercurio. Einstein formulò la Relatività Generale, una teoria di campo classica che produce equazioni del secondo ordine non lineari per il tensore metrico g, il quale ha 10 componenti indipendenti. La risoluzione esatta di queste equazioni non è quasi mai immediata, infatti spesso si procede a risolverle numericamente o con metodi di approssimazione a seconda delle condizioni di campo. Ci interessiamo a questi ultimi, i quali forniscono soluzioni che aumentano di precisione all’aumentare dell’ordine di approssimazione. Vedremo in questo lavoro la teoria post-Minkowskiana, valida in condizioni di campo debole. Essa poggia su una riformulazione delle equazioni di Einstein, dovuta a Landau e Lifschitz, che porterà alle equazioni di campo rilassate. Formalizzeremo poi la teoria post-Newtoniana, valida con l’aggiunta della condizione di moti lenti e pertanto ideale per moti all’interno del sistema solare. L’iterazione delle equazioni rilassate e l’idealizzazione della sorgente come un fluido perfetto permetterà, tramite calcoli laboriosi, di ricavare la metrica PN dello spaziotempo. L’obiettivo di questo lavoro è fornire una panoramica ampia circa il problema dei due corpi, in una trattazione che sia il più possibile autosufficiente e consistente. Cercheremo di fornire tutti gli strumenti per affrontare il problema, partendo da solide radici matematiche di Geometria Differenziale fino alla Relatività Generale stessa, della quale approfondiremo l’espansione PN al primo ordine di approssimazione, con il fine di formalizzare il problema dei due corpi e ricavare le equazioni del moto. Confronteremo i risultati che si ottengono nel caso classico con quelli relativistici e vedremo che essi hanno sembianze molto simili in termini di effective one-body problem ed elementi orbitali.