I processi di rinnovo e relativo applicazioni

I processi di rinnovo sono processi stocastici di conteggio caratterizzati da intertempi indipendenti ed identicamente distribuiti in cui un evento è chiamato rinnovo. La teoria dei processi di rinnovo trova una vasta varietà di applicazioni in argomenti sempre attuali e di ricerca costante. L'obiettivo di questa tesi è raccogliere le principali tipologie e proprietà generali di tali processi introducendo alcune delle applicazioni di maggiore interesse contemporaneo. Nella prima parte si introdurrano i concetti e le definizioni indispensabili per la comprensione dell'argomento, ovvero i processi stocastici e di conteggio, accompagnati dalle loro principali caratteristiche. Verranno poi definiti i processi di rinnovo, seguiti da alcune varianti, quali i processi cumulativi e di rinnovo alternato ed esempi di spiccata rilevanza, quali i processi di Poisson. Il secondo capitolo si occuperà di enunciare e dimostrare ulteriori proprietà utili al successivo studio di alcune applicazioni a problemi reali. La nostra attenzione si sposterà per l'appunto su come utilizzare la teoria dei processi di rinnovo nella risoluzione e nello studio di problemi di interesse pratico. Si affronterà il caso in cui i rinnovi sono interpretati come guasti di oggetti e approfondiremo l'ipotesi in cui sono presenti due tipologie di guasto. Il secondo argomento affrontato sarà quello delle metodologie di sostituzione degli oggetti quando ancora in funzione, qui confronteremo i diversi metodi sia sul lato economico sia sul numero di guasti. L'ultima applicazione di cui ci occuperemo è di natura finanziaria; attraverso la teoria dei processi di rinnovo studieremo la probabilità di rovina di una compagnia assicurativa nel caso particolare in cui le entrate siano a tasso costante e le richieste seguano un processo di Poisson. Risolveremo poi i calcoli nel caso particolare in cui l'ammontare delle richieste di assicurazione siano distribuite esponenzialmente.