Analisi complessa e equazioni alle derivate parziali

In questo lavoro vengono illustrate alcune tecniche di soluzione di problemi associati ad equazioni alle derivate parziali che impiegano metodi e risultati dell'analisi complessa.Nel Capitolo 1 vengono richiamate le principali proprietà delle funzioni olomorfe, per poi trattarne le proprietà di analiticità e sviluppo in serie, concludendo con il Teorema dei Residui. Nel Capitolo 2 vengono definite le funzioni armoniche e la relazione tra funzioni armoniche e funzioni olomorfe. In seguito vengono dimostrati alcuni risultati relativi al nucleo di Poisson, per poi definire l'integrale di Poisson e mostrare che ogni funzione armonica su un disco corrisponde all'integrale di Poisson della sua restrizione alla circonferenza bordo del disco stesso. In tal modo, viene risolto un particolare caso di problema al bordo, il Problema di Dirichlet per il Laplaciano sul disco. Nel Capitolo 3 si introduce il concetto di distribuzione. Sono inoltre definite le distribuzioni regolari e le operazioni di derivata e prodotto per funzione regolare per le distribuzioni. Usando questi concetti vengono introdotte le trasformate e antitrasformate di Laplace, che verranno impiegate per trovare una soluzione per un problema associato all'equazione del calore.