Forma di Poincaré-Cartan per Lagrangiane non regolari: il caso delle traiettorie geodetiche

This thesis considers the equations generated from the Poincaré-Cartan functional in the case of a non-regular Lagrangian, both in general and in the specific case in which the Lagrangian is the arc-lenght on a riemannian manifold. It is shown that such equations can be put in normal form with the introduction of two arbitrary functions. To our knowledge, these equations have not been presented in the previous literature, and can be seen as the definition of a family of connections, generalising an approach already adopted by some authors in the regular case. This generalisation opens new perspectives interesting for further researches.

In questa tesi sono considerate le equazioni generate dal funzionale di Poincaré–Cartan quando la Lagrangiana non è regolare, in generale e nel caso specifico in cui la Lagrangiana è la lunghezza d’arco su una varietà riemanniana. Si dimostra che tali equazioni possono essere messe in forma normale con l’introduzione di due funzioni arbitrarie. Queste equazioni non sembrano essere state finora presentate in letteratura, e si possono interpretare come definizione di una famiglia di connessioni, generalizzando un approccio già adottato da alcuni autori per il caso regolare. Questa generalizzazione apre alcune interessanti prospettive per ulteriori future ricerche.