Geometria dei Quaternioni

I quaternioni vennero introdotti per la prima volta nel 1843 da William Rowan Hamilton, come estensione quadridimensionale dei numeri complessi. A differenza di questi ultimi che hanno la struttura algebrica di un campo, i quaternioni sono un esempio di corpo: soddisfano tutte le proprietà usuali dei campi tranne la proprietà commutativa del prodotto. Nello studio dei quaternioni ricopre un ruolo di notevole importanza il sottoinsieme dei quaternioni unitari, ossia tutti quei quaternioni che hanno la caratteristica di avere norma 1. Essi permettono di modellizzare facilmente tutte le rotazioni dello spazio tridimensionale grazie a una particolare mappa che associa a un vettore dello spazio la sua rotazione di un angolo θ intorno a una retta fissata mediante un prodotto con un opportuno quaternione unitario e il suo coniugato. In altre parole ogni quaternione unitario q descrive una specifica rotazione nello spazio. Grazie a questo il corpo dei quaternioni trova applicazione in molti ambiti come nella fisica teorica, con la teoria della relatività e la meccanica quantistica, nella grafica 3D e nella robotica. Nei capitoli successivi tratteremo da un punto di vista teorico il gruppo dei quaternioni unitari con lo scopo di trovare ed enumerare tutti i suoi sottogruppi finiti. Un approccio diretto allo studio di tali gruppi risulterebbe complicato perciò utilizzeremo una strada alternativa che attraversa proprio la modellizzazione delle rotazioni sopra citata. Dopo aver derfinito gli strumenti necessari, analizzeremo in dettaglio il legame tra quaterinoni unitari, rotazioni e il gruppo ortogonale speciale andando a introdurre alcune nozioni sulle isometrie con particolare riferimento ai gruppi finiti di isometrie che fissano un punto nello spazio euclideo e alla loro azione sulla sfera unitaria. Saremo così in grado di arrivare all’enumerazione dei gruppi finiti di rotazione tridimensionali e alla loro classificazione che ci consentirà di raggiungere il nostro obiettivo. Negli ultimi paragrafi, invece, verrano presi in esame alcuni aspetti più geometrici dei gruppi di rotazione come la proprietà di chiralità e l’enumerazione dei sottogruppi del gruppo prioettivo ortogonale generale.