L'algoritmo di Golub e Welsch per la costruzione di formule Gaussiane

Lo scopo della tesi è quello di determinare i coefficienti e gli zeri di una formula di quadratura Gaussiana attraverso il calcolo di autovalori e autovettori di una matrice tridiagonale simmetrica, mediante l'algoritmo QR per il calcolo degli autovalori di una matrice, che altro non è che il cuore dell'algoritmo di Golub e Welsch. Nel primo capitolo vengono fornite le nozioni preliminari sull'interpolazione e l'approssimazione polinomiale: viene studiata convergenza e stabilità dell’interpolazione e vengono introdotti i polinomi ortogonali che serviranno nei capitoli successivi per la costruzione delle formule Gaussiane e per l'applicazione del metodo. Successivamente, viene procurata al lettore un'infarinatura generale sulle formule di quadratura e sulla loro importanza nel calcolo di integrali. Nel secondo capitolo viene affrontato il problema sul calcolo degli autovalori; in particolare, vengono trattate le trasformazioni di similitudine e di Householder, per arrivare al calcolo degli autovalori di una matrice tridiagonale simmetrica e viene successivamente implementato il metodo QR. Infine, nell'ultimo capitolo, si affronta la costruzione delle formule Gaussiane e viene riportato un frammento di codice, generato da opportune funzioni in ambiente Matlab, in cui avviene l'effettiva costruzione della matrice di Jacobi. Dopodiché, vengono costruite esplicitamente le matrici di Jacobi di casi particolari che derivano dalle formule di Gauss-Jacobi, a partire dalle opportune funzioni peso.