Curve WAT-Bézier e WAT-Bézier razionali

Bézier curves are the basis of graphic modeling, but it is not possible to change their shape without making changes to the control polygon; this fact is sometimes compensated by using NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) curves, whose structure, however, is more complex, making it difficult to use them; furthermore, the fact that they are defined only by algebraic polynomials does not allow to represent some figures, such as transcendent curves. Recently, to overcome this limit, new polynomial functions have been proposed in algebraic and non-algebraic space, which enjoy greater flexibility and allow to provide more accurate representations; the WAT (Weighted Algebraic Trigonometric) -Bézier curves, a class of cubic quasi-Bézier curves with shape parameters, based on the blending space span {1, t, t^2, t^3,sin πt, cos πt}, and will be presented in this paper with some properties and applications, are an example. These curves include cubic Bézier curves, C-Bézier curves in the particular case α = π and are advantageous compared to the classic C-Bézier curves, as the extension of the parameter interval is larger. Also, WAT-Bézier curves allow to represent exactly some transcendent curves, appropriately choosing the parameters and control points, as required. Another class of basic trigonometric polynomial functions is described below, with shape parameters, based on the space span {1, sin t, cos t, sin 2t, cos 2t}: the rational WAT-Bézier curves. In particular, rational cubic WAT-Bézier curves have similar properties to cubic WAT-Bézier curves and cubic Bézier curves, but, unlike the latter, under appropriate conditions, they can exactly depict some quadratic curves, parabolas and cardioids.

Alla base della modellazione grafica vi sono le curve di Bézier, di cui però non è possibile cambiare la forma senza apportare modifiche al poligono di controllo; si sopperisce, talvolta, impiegando le curve NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline), la cui struttura è però più complessa, quindi ne rende difficoltoso l'utilizzo; inoltre, il fatto che siano definite unicamente da polinomi algebrici non permette di rappresentare alcune figure, come le curve trascendenti. Recentemente, per superare questo limite, sono state proposte nuove funzioni polinomiali nello spazio algebrico e non algebrico, che godono di una maggior flessibilità e permettono di fornire rappresentazioni più accurate; ne sono un esempio le curve WAT (Weighted Algebraic Trigonometric)-Bézier, una classe di curve quasi-Bézier cubiche con parametri di forma, che si basano su funzioni generatrici {1, t, t^2, t^3,sin πt, cos πt} e che saranno presentate in questa tesi con le loro proprietà e alcune possibili applicazioni. Queste curve includono le curve di Bézier cubiche e le curve C-Bézier nel caso particolare α = π, ma sono più vantaggiose rispetto alle classiche curve C-Bézier, in quanto l’estensione dell’intervallo del parametro è maggiore. Inoltre, come richiesto, con le curve WAT-Bézier è possibile rappresentare esattamente alcune curve trascendenti come cicloide, elica, funzione seno, scegliendo opportunamente i parametri e i punti di controllo. In seguito è descritta un’altra classe di funzioni polinomiali trigonometriche di base, con parametri di forma, che si basano su funzioni generatrici {1,sin t, cos t, sin 2t, cos 2t}: le curve WAT-Bézier razionali. Le curve WAT-Bézier razionali cubiche, in particolare, hanno proprietà simili alle curve WAT-Bézier cubiche e alle curve di Bézier cubiche, ma, a differenza di queste ultime, sotto opportune condizioni, possono raffigurare esattamente alcune curve quadratiche, parabole e cardioidi.