Un controesempio al Principio di Hasse

Nella tesi si introduce il campo Q_p dei numeri p-adici come completamento del campo razionale Q rispetto alla metrica p-adica, di cui si spiega la costruzione generale. Dopo aver esaminato alcune proprietà di Q_p, incluse le sue proprietà topologiche, si discute di il Lemma di Hensel. Questo è un risultato tecnico importante, in quanto permette, sotto certe condizioni tecniche, di sollevare soluzioni di equazioni modulo p a soluzioni in Q_p, cioè in un campo di caratteristica 0. Vengono poi discusse le forme quadratiche, con particolare riguardo al caso in cui i coefficienti sono in Q_p o in Q. L'obiettivo è caratterizzare gli elementi del campo rappresentati da una classe di equivalenza di forme quadratiche. In ambito p-adico, questo viene realizzato mediante lo studio di invarianti definiti tramite il cosiddetto simbolo di Hilbert. Poi il Principio di Hasse permette di raggiungere l'obiettivo nel campo razionale. Infine si discutono esempi dove il Principio di Hasse non è valido. In particolare si studia il caso della quartica di Lind e Reichardt. Per quanto riguarda la cubica di Selmer, ci si limita ad alcune considerazioni che non richiedono strumenti di tipo diverso.