La differenziabilità e la continuità: uno studio dei teoremi di restrizione ed estensione

Le relazioni classiche tra la differenziabilità e la continuità sono ben note; tuttavia ci si chiede se si può dedurre qualcosa in più. Sappiamo che la differenziabilità implica la continuità, ma ci domandiamo se è possibile estrarre più informazioni riguardo alla continuità a partire dalla differenziabilità. D'altra parte, come è noto, la continuità non implica la differenziabilità, ma è possibile dedurre qualche proprietà legata alla differenziabilità partendo dalla sola continuità? La parte principale dell'articolo (su cui ci baseremo noi), riguardante la continuità e la differenziabilità del primo ordine, è presentata in modo da rispondere a due essenziali quesiti: Q1 : Quanta continuità implica la differenziabilità? (ovvero, quanto è continua una funzione differenziabile?) Q2 : Quanta differenziabilità implica la continuità? (ovvero, quanto è differenziabile una funzione continua?) I due quesiti Q1 e Q2 verranno analizzati nei capitoli 3 e 4, rispettivamente (a tal proposito, tutto il discorso in tali sessioni è indipendente dalla teoria legata alla misura di Lebesgue). In particolare interpreteremo Q1 come un quesito sulla continuità delle derivate della funzione in considerazione. La novità chiave in questa parte sarà la presentazione di una costruzione semplice di un cosiddetto "mostro differenziabile", ovvero una funzione differenziabile tale per cui non esiste nessun intervallo su cui la funzione è monotona. Per quanto riguarda Q2 invece, partiremo dalla costruzione di una funzione di Weierstrass, cioè una funzione continua non differenziale in alcun punto del suo dominio. Dopodiché faremo vedere che data una qualsiasi funzione continua f da R in R, esiste sempre un sottoinsieme perfetto P di R tale per cui la restrizione di f su P sia differenziabile. E concludiamo dimostrando un risultato ancora più forte: una qualunque funzione continua f da R in R è sempre di classe C1 su un sottoinsieme non numerabile di R.