Regolarità di soluzioni pari di problemi ellittici degeneri o singolari e teoremi di tipo Liouville

Nel mio lavoro di tesi mi sono incentrato sullo studio di un problema ellittico degenere o singolare. I risultati principali della tesi sono due:mostrare una regolarità locale di tipo C^{0,\alpha} e C^{1,\alpha} delle soluzioni del problema e provare dei teoremi di Liouville, che sono strettamente collegati alle eventuali soluzioni polinomiali del problema. Per raggiungere l'obiettivo si usa una procedura di tipo blow-up: ovvero si approssima, introducendo un apposito parametro, il problema con una famiglia di soluzioni di problemi uniformemente ellittici, e sotto opportune ipotesi si dimostrano delle stime opportune negli spazi di Hölder C^{0,\alpha} e C^{1,\alpha} che saranno uniformi nel parametro introdotto. Mostrando che ogni soluzione del problema degenere o singolare può essere approssimata da soluzioni regolare, grazie all'uniformità delle stime ottenute, si ottiene il risultato di regolarità voluto. I teoremi di Liouville che si dimostrano durante la tesi servono sia per ottenere dei risultati di regolarità, ma hanno anche un interesse indipendente. Sotto opportune condizioni di crescita le soluzioni del problema degenere o singolare definite su tutto lo spazio, dovranno essere necessariamente polinomiali e si conosce la forma di tali polinomi. Dopo aver elaborato questi risultati già noti si è provato che nel caso del problema approssimante non esistono soluzioni polinomiali, ma nonostante questo riusciamo a dare una forma esplicita di tali soluzioni e a fornire un'altra variante del teorema di Liouville che avevamo mostrato.