Teorema di Shapiro e maggiorazioni uniformi per sistemi ortonormali in L2

In questo elaborato si analizzano principi di indeterminazione per famiglie ortonormali in $L^2(\mathbb{R}),$ sia in forma qualitativa che quantitativa. In particolare, si studia quali sono i comportamenti possibili degli elementi di una famiglia ortonormale e delle loro trasformate di Fourier, dal punto di vista di limitazioni uniformi delle stesse funzioni o delle loro medie e varianze. Nel capitolo due si analizza nel dettaglio il comportamento qualitativo di famiglie ortonormali in $L^2(\mathbb{R})$. Un primo risultato importante è stato dato da H.S. Shapiro, il quale ha dimostrato che le funzioni e le relative trasformate di Fourier di una qualsiasi famiglia ortonormale infinita non possono essere tutte dominate, a meno di una costante moltiplicativa, dalla funzione $(1+\vert x\vert)^{-p},$ con $p>1/2$ fissato. Invece nel capitolo tre si affronta l'aspetto quantitativo relativo ai principi di indeterminazione per famiglie ortonormali in $L^2(\mathbb{R})$. Nel caso in cui la famiglia ortonormale risulti finita si prova che è possibile ottenere una limitazione del numero di elementi della famiglia a priori attraverso l'utilizzo della tecnica di Reileight-Ritz e l'operatore di Hermite applicati alle medie e dispersioni delle funzioni e relative trasformate Fourier della famiglia ortonormale. Un altro modo per raggiungere questo obiettivo consiste nell'usare le spherical code e le funzioni $(\epsilon,d)-$approssimanti, e applicarli in maniera opportuna alle $p-$medie e alle $p-$dispersioni delle funzioni e relative trasformate di Fourier della famiglia ortornormale. Nel tentativo di andare oltre ci si domanda nel capitolo quattro se è possibile ottenere dei risultati simili a quelli del capitolo tre nel caso però di famiglie di funzioni non ortonormali contenute sempre in $L^2(\mathbb{R})$