Geometria delle Tassellazioni

In questa tesi vengono approfondite le tassellazioni geometriche, analizzate su tre superfici diverse: il piano Euclideo, la sfera e il piano iperbolico. Viene inoltre studiato il loro legame con Teoria dei gruppi, la quale è di grande aiuto nello sviluppo di questa trattazione: si parla soprattutto di gruppi di isometrie che "portano una tassellazione in sé", cioè di gruppi di simmetrie della tassellazione. Nel primo capitolo vengono introdotte le geometrie su cui saranno studiate le tassellazioni, ovvero geometria Euclidea, geometria sferica e geometria iperbolica. Il secondo capitolo verte su Teoria dei gruppi, e vengono fornite alcune definizioni di base e visti alcuni esempi per il legame con le tassellazioni. Ma quante sono le possibili tassellazioni regolari o semiregolari nelle tre geometrie viste finora? Il terzo capitolo riguarda le tassellazioni, e ne viene presentata un’analisi approfondita, considerando quelle regolari e semiregolari, e studiando quante sono a seconda dei casi. Nel quarto capitolo vengono introdotti i gruppi triangolari, definiti come gruppi generati dalle riflessioni rispetto ai lati di un triangolo, detto triangolo base, realizzabile nel piano Euclideo, iperbolico o sulla sfera. A partire da tale definizione, e da quella di dominio fondamentale, viene fornita una presentazione per il gruppo e si dimostra che tale gruppo coincide con il gruppo di simmetrie di una tassellazione per cui il triangolo base è un dominio fondamentale. Infine nel quinto capitolo vengono determinati tutti i possibili gruppi di simmetria delle tassellazioni poligonali convesse del piano Euclideo, esaminando il caso non periodico, il caso 1-periodico e quello 2-periodico.