Applicazione del Teorema centrale di Lyapunov al problema dei tre corpi

Il problema dei tre corpi è una delle sfide matematiche più antiche e allo stesso tempo più attuali: consiste nello studio del moto di tre masse soggette alle mutue interazioni gravitazionali. Diversi matematici del calibro di Eulero e Poincarè hanno studiato tale problema nelle sue varie forme; tra questi, il matematico Lyapunov ha affrontato il problema dei tre corpi ristretto planare, in cui si studia il moto di una massa trascurabile sotto l’influenza di altre due masse tutte poste sullo stesso piano. Tale problema approssima in modo accurato diversi sistemi fisici, tra cui il moto della Luna sotto l’influenza della Terra e del Sole. Scopo di questa tesi è approfondire tale problema ristretto e applicare ad esso il Teorema centrale di Lyapunov. Nello studio del problema, vengono trovati cinque punti di equilibrio, detti lagrangiani, che si suddividono in collineari e triangolari, in base alla loro posizione rispetto alle masse presenti. Si verifica inoltre, applicando il teorema di Hartman-Grobman, come gli equilibri collineari sono sempre instabili, mentre i triangolari sono stabili o instabili in base all’intervallo di studio. Si prosegue lo studio del problema soffermandoci sulla ricerca di soluzioni periodiche in un intorno dei punti lagrangiani trovati. Tramite il teorema di Hopf ed alcuni risultati teorici di meccanica classica, siamo in grado di dimostrare il Teorema di Lyapunov che garantisce l’esistenza di soluzioni periodiche sotto alcune ipotesi sugli autovalori della jacobiana della funzione definita e sotto la presenza di un integrale primo per il sistema dato. Tale teorema può quindi essere direttamente applicato al problema ristretto dei tre corpi, permettendo di affermare che in un intorno di ognuno dei cinque punti lagrangiani esistono soluzioni periodiche e che soltanto nel caso degli equilibri triangolari vanno fatte ulteriori restrizioni.