Da Harnack a Hilbert: la classificazione delle curve reali

L'obiettivo di questa tesi è illustrare alcune possibili classficazioni delle curve algebriche reali non singolari nel piano proiettivo reale, con particolare attenzione alla classificazione topologica e per isotopia. Nel primo capitolo si introduce la nozione di curva algebrica piana proiettiva reale non singolare e se ne studiano alcune proprietà, in particolare si analizza la struttura topologica delle sue componenti connesse – dette ovali – e la relazione che intercorre tra queste e la struttura algebrica della curva. Il secondo capitolo è dedicato interamente alla discussione del teorema di Harnack, risultato che – descrivendo la relazione tra il grado della curva e il numero dei suoi ovali – completa la classificazione topologica. Il terzo capitolo si concentra infine sulla classificazione per isotopia delle curve reali non singolari e dei suoi legami con il sedicesimo problema di Hilbert.