Come generare numeri casuali (e pseudo-casuali) e il metodo di Monte Carlo

During the Second World War, Enrico Fermi, Stanislaw Ulam and John Von Neumann invented the Monte Carlo method, whose name is a clear reference to the homonymous city and its casino: still used today in various fields (including physics, economics, engineering), it uses simulations that exploit random numbers to solve numerical problems. So the main ingredients are the random numbers: the target of the first part of the thesis is the analysis of different methods to generate them, or more precisely, to generate pseudo-random numbers; among them there are the congruential methods based on modular arithmetic, the inversion method, the acceptance-rejection method and the Box-Muller method. The second part of the thesis is devoted to calculus of integrals, through the use of the Monte Carlo method, with hit or miss application, if we give a geometric interpretation of the integral as area, and sample mean, which instead exploits the representation of the integral as mean value. Finally there is an analysis of some techniques to improve the estimate obtained through the Monte Carlo method and examples of its application, such as the Buffon's needle problem.

Durante gli anni della Seconda Guerra Mondiale, Enrico Fermi, Stanislaw Ulam e John Von Neumann idearono il metodo di Monte Carlo, il cui nome è un chiaro riferimento alla città omonima e al suo casinò: esso, ancora oggi usato in svariati ambiti (tra gli altri quello fisico, economico, ingegneristico) utilizza simulazioni che sfruttano numeri casuali per risolvere problemi numerici. L’ingrediente principale sono quindi i numeri casuali: l’obiettivo della prima parte della tesi è l’analisi di diversi metodi per generarli, o più precisamente, per generare numeri pseudo-casuali; tra questi ci sono i metodi congruenziali basati sull’aritmetica modulare, il metodo della trasformata inversa, il metodo acceptance-rejection e il metodo di Box-Muller. La seconda parte della tesi è dedicata al calcolo, attraverso l’uso del metodo di Monte Carlo, degli integrali, con l’applicazione hit or miss, per un’interpretazione geometrica dell’integrale come area, e sample mean, che sfrutta invece la rappresentazione dell’integrale come valor medio. Seguirà infine un’analisi di tecniche volte a migliore la stima ottenuta attraverso il metodo di Monte Carlo e esempi di applicazione di esso, come il problema di Buffon.