Teorema di Poincaré-Hopf

Il presente lavoro ha l’obiettivo di presentare alcuni strumenti e con- cetti di Topologia Differenziale, branca della geometria avviata dai lavori di Poincar ́e e sviluppatasi enormemente nella seconda meta` del secolo scorso. Questa studia il legame tra topologia e analisi su varieta` e i suoi risultati sono particolarmente sorprendenti: l’analisi `e per definizione lo- cale e ”piccole” modifiche a un problema di analisi possono in generale portare risposte radicalmente diverse, in topologia ogni omeomorfismo las- cia il problema di partenza essenzialmente invariato. Tuttavia questi due mondi sono intimamente legati: le proprieta` topologiche di uno spazio vincolano profondamente il comportamento di funzioni su di esso definite e, in modo ancora piu` inaspettato, lo studio di funzioni su varieta` puo` dare molte informazioni su proprieta` topologiche. Lo scopo ultimo della trattazione `e il Teorema di Poincar ́e-Hopf, la cui dimostrazione in letteratura `e svolta essenzialmente in due modi diversi. Il primo si basa sulla teoria della transversalita` di mappe e sottovarieta`: la caratteristica di Eulero di una varieta` differenziale M puo` essere definita ”contando” in modo opportuno le auto-intersezioni della diagonale nel prodotto M × M e l’affermazione del Teorema `e formulata in termini di caratteristica di Eulero e indici di intersezione tra sottofibrati di TM, che la teoria della transversalita` consente di suppore ”in posizione generale”. Il secondo approccio, che `e quello qui adottato, si basa su una nozione di caratterstica di Eulero classica (quindi puramente topologica) e sfrutta la Teoria di Morse come vero collegamento tra calcolo e topologia. I risultati di questa Teoria mostrano in modo chiaro quello cui si accenava: lo studio delle funzioni di Morse su una varieta` rivela la sua struttura topologica in modo profondo e il motivo per cui si `e scelta questa seconda strada per la dimostrazione `e che l’essenza della topologia differenziale, a nostro avviso, emerge in modo netto e, speriamo, avvincente.