Gruppi abeliani liberi e punti piccoli

It is known that a finitely generated abelian group is free if and only if it is isomorphic to the direct sum of a finite number of copies of Z. We will prove the characterization of countable abelian groups that are free formulated by Pontryagin, so as to then be able to demonstrate Zorzitto's theorem, according to which a countable abelian group is free if and only if there exists a discrete norm on this group. From this theorem, it follows that, if F is an algebraic extension of the rational numbers such that the absolute logarithmic Weil height is a discrete norm on F* modulo torsion, then F* modulo torsion is free. We will prove that the converse of the latter statement is false by constructing a counterexample.

È noto che un gruppo abeliano finitamente generato è libero se e solo se è isomorfo alla somma diretta di un numero finito di copie di Z. Si vedrà la caratterizzazione dei gruppi abeliani numerabili che sono liberi fornita da Pontryagin, per poi passare al teorema di Zorzitto, secondo cui un gruppo abeliano numerabile è libero se e solo se ammette una norma discreta. Da questo segue che, presa F un'estensione algebrica dei numeri razionali, F* modulo torsione è libero se l'altezza assoluta logaritmica di Weil ne costituisce una norma discreta. Si dimostrerà, attraverso un controesempio, che l'inverso di quest'ultima affermazione è falso.