Interpolazione su dati sparsi con funzini a base radiale a supporto compatto e applicazione alla registrazione d'immagini.

Occupandosi delle immagini uno è spesso interessato non solo all'analisi di queste ma anche al confronto e all'estrapolazione di informazioni date da diverse immagini. Per questo motivo la registrazione di immagini risulta essere uno degli argomenti maggiormente trattati e di maggior interesse, il suo compito principale è trovare una trasformazione ottimale che crei una corrispondenza tra due immagini dello stesso oggetto realizzate in tempi differenti. La registrazione di immagini è largamente utilizzata in diversi settori di studio tra cui il campo astrofisico, quello geofisico, nei programmi di visualizzazione grafica e in campo medico. Su quest'ultimo è stata maggiormente concentrata l'attenzione. In questo campo la registrazione d'immagini negli ultimi vent'anni ha giocato un ruolo fondamentale, infatti le immagini registrate sono usate oggigiorno abitualmente in una moltitudine di applicazioni differenti come la verifica dei trattamenti pre e post intervento e l'evoluzione nel tempo di patologie e fattori estranei al paziente. L'interpretazione di immagini mediche, in ogni caso, richiede una conoscenza approfondita della materia e richiede l'interpretazione di un esperto, per questo ci avvarremo, nello sviluppo dell'argomento, di immagini semplici dove anche un occhio meno esperto potrà interpretare e comprendere la procedura di registrazione. La registrazione di immagini può essere riassunta in modo semplice: data una immagine sorgente e un'immagine obiettivo ci si ripropone il compito di trovare la trasformazione opportuna che dati alcuni punti nella prima immagine gli faccia corrispondere punti opportuni nella seconda immagine. Il problema risulta di facile comprendimento ma non sarà la stessa cosa lo svolgimento. La principale motivazione è che risulta essere mal posto, ovvero piccoli cambiamenti nella prima immagine possono compromettere completamente la registrazione. L'intenzione di questa tesi è analizzare la registrazioni di immagini mediche attraverso un punto di vista matematico, interpretandone i risultati e proponendo nuove vie di utilizzo di funzioni per migliorare e affinare le tecniche. E' proprio su questa analisi che si è sviluppata la prima parte della tesi nella quale si è data un'introduzione globale a quella che è la registrazione di immagini, prima parametrica e poi attraverso funzioni a base radiale. Ed ´e su quest'ultime che abbiamo concentrato l'attenzione passando in rassegna le principali funzioni a base radiale e le rispettive caratteristiche utilizzando poi, nelle prove numeriche e nella registrazione di immagini, le funzioni a base radiale a supporto compatto. Tra queste abbiamo dato maggior risalto alle funzioni di Wendland: analizzando le funzioni introdotte nel 1995 e proponendone anche un nuovo modello date dal prodotto di funzioni Wendland 1DX1D e attraverso questi due tipi abbiamo svolto un confronto per ricercarne l'ottimale da un punto di vista dell'interpolazione. Lo stesso ragionamento è stato fatto per la registrazione di immagini, anche qui sono state messe a confronto le due funzioni interpolanti di Wendland utilizzando come funzioni test quattro casi di shift, scaling, espansione tumorale e riduzione tumorale.