Interpolazione sferica su dati sparsi con applicazione a dati geomagnetici satellitari

Il problema principale che affronta questa tesi è l'interpolazione di grandi insiemi di dati sparsi su una superficie sferica. Sia Sd-1={x Rd:||x||2=1} la sfera unitaria in Rd centrata nell'origine. Siano Xn={xi, i=1,¿,n } un insieme di n punti distinti, arbitrariamente distribuiti sulla sfera e Fn={fi, i=1,..,n} un insieme di n valori reali assunti da una funzione incognita f sui punti xi, i=1,¿,n. Si vuole analizzare il problema di trovare una funzione definita su Sd-1, interpolante i dati dell'insieme Xn. In particolare, nella tesi si presta attenzione al caso della sfera tridimensionale, che è il più interessante dal punto di vista delle applicazioni. Infatti la sfera si può pensare come modello per le approssimazioni sulla superficie terrestre; i punti arbitrariamente distribuiti su di essa possono essere visti come misurazioni di fenomeni fisici (temperatura, piogge, pressione, ozono, forze gravitazionali,..).In particolare, vengono trattati i dati geomagnetici del Magsat, satellite NASA che è stato lanciato in orbita nel 1979 con lo scopo di ottenere misurazioni accurate del campo magnetico terrestre: i suoi dati sono sparsi su tutta la superficie sferica terrestre; risulta così appropriato ed efficiente il metodo locale di Shepard, che utilizza come funzioni nodali le funzioni a base zonale e il cui algoritmo è basato su una suddivisione in zone sferiche. In questo caso, infatti, i dati vengono partizionati in un numero adeguato di zone, in ognuna delle quali si costruisce un'interpolante locale; queste interpolanti vanno poi a formare l'interpolante globale da cui otteniamo le approssimazioni.L'algoritmo presentato viene implementato sia utilizzando funzioni test su grandi insiemi di punti di Halton, con notevoli risultati in termini di accuratezza, sia su vari insiemi di dati reali del Magsat; anche in questo caso i risultati ottenuti sono soddisfacenti, considerando che è la prima volta che questo algoritmo viene implementato su dati satellitari reali. In entrambi i casi, segue un'ulteriore analisi con aggiunta di armoniche sferiche, al fine di valutare un aumento nell'accuratezza dei risultati.