Stelle politropiche e teorema di non esistenza in teorie estese della gravitazione

Motivati da attuali ricerche in campo fisico sull'energia oscura, alcuni scienziati stanno studiando i modelli f(R), che vengono esaminati con due approcci differenti: il formalismo puramente metrico e il formalismo alla Palatini. Nell'ambito delle teorie f(R) nel formalismo alla Palatini, è stato evidenziato un problema nel modellare le stelle politropiche, ossia modelli di Relatività Generale ritenuti validi per approssimare tutte le stelle. L'obiettivo di questo lavoro è quello di analizzare da un punto di vista matematico i vari problemi relativi alle soluzioni a simmetria sferica delle equazioni di campo di Einstein nell'incollamento sulla superficie di una stella politropica. Inizialmente, viene esaminato un teorema di non esistenza che rivela la presenza di una singolarità inevitabile per una generica scelta di f(R). In secondo luogo, ci focalizza su di un particolare modello, f(R) = R ± λ R2, con λ una costante dell'ordine della lunghezza di Planck al quadrato, riconsiderando la stessa situazione. Si ritrova esattamente la stessa singolarità matematica, ma comprendendone questa volta la sua natura non fisica: di fatto, tale singolarità compare ad una densità critica ρs~10-210 [g/cm3] ampiamente al di sotto di ogni densità fisica accessibile. In seguito, si è costruito un modello matematico in cui tali situazioni non si manifestano, dove cioè la densità ρ non può approssimarsi allo zero, poiché non può scendere al di sotto del valore minimo di densità dell'Universo ρu~10-30 [g/cm3]. In questo caso, non vi sono singolarità, almeno al tempo presente: esse potrebbero comparire in un futuro così distante che sarebbe comunque insensato fare previsioni, dal momento che potrebbero non esistere più le stesse stelle politropiche.

Due to physical researches about dark matter, scientists are studying f(R) models, which are examined with two different approaches: the purely metric formalism and the Palatini formalism. In the context of Palatini f(R) theories, it has been highlighted a problem in modelling polytropic stars, which are sound standard General Relativity models of all the stars at first approximation. The aim of this work is to analyze from the mathematical point of view the various problems related to spherically symmetric solutions of Einstein field equations in matching on the surface of polytropic star. Firstly, we examine a no-go theorem which reveals the presence of an unavoidable singularity for a generic choice of f(R). Secondly, we focus on a particular model, i.e. f(R) = R ± λ R2, with λ a constant of order the Planck length squared and reconsider the same situation. We recover exactly the same mathematical singularity, but understanding its unphysical feature: in fact, it appears at a critical density ρs~10-210 [g/cm3], which is well below any accessible physical density. It is then possible to create a mathematical model in which such unwelcome situations do not appear, i.e. where the density ρ could not approach to zero, as it could not go below the minimum value of the Universe density ρu~10-30 [g/cm3]. In this case, we see that there are no singularities at the present times: they may come out in such a far away future that it is senseless to make predictions, as we do not know if polytropic stars may still exist.