Blow-up simplettico e varietà Kähleriane

Kähler manifolds are a particular kind of symplectic manifolds which represent a differential geometric analogue of complex algebraic varieties. In particular they generalize complex projective spaces and include all compact smooth submanifolds of complex projective spaces. Nowadays much is known about Symplectic Geometry, but much can still be said about Kähler manifolds. For example, the very existence of a Kähler structure on a given symplectic manifold can be hard to prove. In fact, every Kähler manifold features a standard symplectic structure, but the converse is not true: there are symplectic manifold which cannot be equipped with any Kähler structure. The first example of symplectic non-Kähler manifold was presented by Thurston in an article from the 1970s. Since then, new techniques for creating such manifolds have been studied. In particular in this thesis we will be interested in the approach used by Dusa McDuff in her article "Examples of simply-connected symplectic non-Kähler manifolds" [J. Differential Geometry, 20 (1984) 267-277]. The idea is to adapt the blow-up from Algebraic Geometry in a way that preserves the symplectic structure of the starting manifold. Once we have done this, we will show how to build new non-Kähler manifolds starting from the known ones by embedding them in a complex projective space of a suitably large dimension and then blow it up along the embedded manifold. Of course, we also need a way to check whether the blown-up manifold is non-Kähler. For this purpose, the tools of Algebraic Topology can be used.

Le varietà kähleriane sono un tipo di varietà simplettiche che rappresenta l'analogo in geometria differenziale delle varietà algebriche complesse in geometria algebrica. In particolare, queste verietà generalizzano gli spazi proiettivi complessi e includono tutte le loro sottovarietà lisce. Negli ultimi decenni molto è stato fatto nel campo della geometria simplettica, ma molto può ancora essere detto sulle varietà di Kähler. Per esempio, la stessa esistenza o meno di una struttura kähleriana su una data varietà simplettica può essere difficile da provare. Di fatto, ogni varietà di Kähler ammette una struttura simplettica standard, ma non vale il viceversa: esistono varietà simplettiche che non possono essere dotate di una struttura kähleriana. Il primo esempio di varietà simplettica non kähleriana è stato presentato da Thurston in un articolo degli anni '70. Da allora sono state sviluppate nuove tecniche per costruire varietà di questo tipo. In particolare, in questa tesi si fa riferimento all'approccio utilizzato da Dusa McDuff nel suo articolo "Examples of simply-connected symplectic non-Kähler manifolds" [J. Differential Geometry, 20 (1984) 267-277]. L'idea è quella di adattare l'usuale blow-up della geometria algebrica in modo da conservare la struttura simplettica della varietà di partenza. Una volta fatto ciò, si può mostrare come costruire nuove varietà non kähleriane a partire a quelle note immergendole in uno spazio proiettivo complesso di dimensione abbastanza grande e successivamente effettuando il blow-up del proiettivo lungo la varietà immersa. Al fine di controllare che le varietà così ottenute siano ancora non kähleriane, si useranno largamente gli strumenti forniti dalla topologia algebrica.