Analisi Microlocale e Teoria Spettrale di Operatori Ellittici su Varietà Non-compatte

In this thesis we will deal with SG-pseudodifferential operators, a class of global pseudodifferential operators introduced independently by H. O. Cordes and C. Parenti in the '70s. A main feature of this pseudodifferential operators class is the possibility to transfer the calculus to a rather wide set of non-compact manifolds, the so-called S-manifolds. In Chapter 1 we will recall the basic definitions and results about the SG-calculus on R^n. Here we will mainly focus on three aspects: the problem of the existence of a parametrix for elliptic operators in this class, some properties of the weighted Sobolev spaces, and the analysis of a version of the calculus on the polycylinder. The description of the S-structures will be given in Chapter 2. Here we will describe how the SG-calculus can be transferred to manifolds which admit a S-structure and show that the good properties of the calculus hold also on S-manifolds. We will also discuss the Laplace-Beltrami operator on such manifolds, and show that it is not md-elliptic. In Chapter 3 we will then fix the attention to the spectral properties of elliptic SG-operators of positive order on S-manifolds. Finally, in some concluding remarks, we briefly discuss how the theory could be used to build explicit examples of estimates for the corresponding spectral counting functions.

In questa tesi ci occuperemo di operatori pseudodifferenziali di classe SG, una classe di operatori pseudodifferenziali globali introdotta indipendentemente da H. O. Cordes e C. Parenti negli anni 70. Un'importante proprietà di questa classe di operatori pseudodifferenziali è la possibilità di trasferire il calcolo su una classe piuttosto ampia di varietà non compatte, le cosiddette S-varietà. Nel Capitolo uno richiameremo le definizioni fondamentali e i risultati sul calcolo SG su R^n. Ci occuperemo principalmente di tre aspetti: il problema dell'esistenza di una parametrix per operatori ellittici in questa classe, alcune proprietà degli spazi di Sobolev pesati, e l'analisi di una versione del calcolo sul policilindro. La descrizione delle S-strutture verrà fornita nel Capitolo 2. Descriveremo come il calcolo SG può essere trasferito a varietà che ammettono una S-struttura, e mostreremo che le buone proprietà del calcolo valgono anche sulle S-varietà. Inoltre discuteremo le proprietà dell'operatore di Laplace-Beltrami su queste varietà, e mostreremo che non è md-ellittico. Nel Capitolo 3 fisseremo l'attenzione sulle proprietà spettrali degli operatori di classe SG ellittici e di ordine positivo sulle S-varietà. Infine, in alcune considerazioni conclusive, discuteremo brevemente del modo in cui la teoria può essere utilizzata per costruire esempi espliciti di stime per le funzioni di conteggio spettrale corrispondenti.