Studio del moto ondoso in acqua bassa: Il metodo di Hirota

Nella seconda metà del ventesimo gli scienziati iniziarono a porre particolare attenzione agli effetti causati dalle non linearità nelle equazioni dinamiche. Tali non linearità furono la causa della scoperta di due interessanti manifestazioni di natura opposta: il caos ed i solitoni, che sono oggetti localizzati, stabili e che interagiscono elasticamente. Ci sono molti modi di studiare una nPDE integrabile che presentano delle soluzioni solitoniche; ogni metodo ha i suoi assunti e la sua area di applicabilità. Per esempio, la trasformata di scattering inversa (IST) può essere utilizzata per risolvere problemi con determinati valori iniziali, ma essa usa potenti metodi analitici e perciò pone forti assunzioni sulle equazioni non lineari. Dall'altra parte, si può trovare una soluzione d'onda di quasi tutte tali equazioni con una semplice sostituzione in grado di ridurre l'equazione ad una equazione differenziale ordinaria. In mezzo a questi due casi estremi si pone il metodo di Hirota. Benché la trasformazione sia ispirata alla IST, tale metodo non necessità delle stesse assunzioni matematiche quindi è applicabile ad una più vasta classe di equazioni. L'applicazione del metodo spesso (ed è auspicabile che avvenga) produce una piccola classe di soluzioni dette multi-solitoniche. L'idea che sta alla base del metodo di Hirota è di costruire tali soluzioni utilizzando degli esponenziali reali dato che essi non possono essere ricavati da una sovrapposizione lineare di onde. Lo scopo della presente tesi, è, in primo luogo, quello di presentare il metodo di Hirota e le equazioni ricavate per il problema fisico di acqua bassa. Nei capitoli successivi si applicherà il metodo a tali equazioni per ricavare le soluzioni multi-solitoniche. Le equazioni oggetto di studio saranno la famosa equazione Korteweg-de Vries (KDV) e la sua generalizzazione bidimensionale descritta dall'equazione Kadomtsev-Petviashvili (KP) per poi passare all'ordine successivo rappresentato dall'equazione KDV estesa o (1+1)Gardner e la sua generalizzazione bidimensionale (2+1)Gardner.