modelli minimali di nilvarietà

In questa tesi sono stati studiati i modelli minimali di nilvarietà. Un modello minimale è una categoria algebrica costruita da Sullivan per descrivere la parte razionale dei gruppi di omotopia superiore di varietà differenziabili. Un teorema ci assicura sempre l'esistenza di un modello minimale per varietà differenziabili connesse e semplicemente connesse. Sono state considerate particolari varietà dette nilvarietà perché esempio di varietà complesse simplettiche che non ammettono strutture Kähleriane. La particolarità delle nilvarietà è che non sono mai varietà semplicemente connesse, quindi il teorema sopra citato non assicura l'esistenza di un loro modello minimale. Tuttavia si può costruire un modello minimale per il complesso di Chevalley-Eilenberg, delle forme sull'algebra di Lie associata al gruppo di Lie che definisce la nilvarietà. Nomizu inoltre ha provato che la coomologia di una nilvarietà può essere calcolata algebricamente a partire dal complesso di Chevalley-Eilenberg: il k-esimo gruppo di coomologia della nilvarietà è isomorfo al k-esimo gruppo di coomologia del complesso di Chevalley-Eilenberg. Questo implica allora l'esistenza di un modello minimale per la nilvarietà anche se non è semplicemente connessa. Ecco quindi che i modelli minimali diventano strumenti molto importanti per descrivere anche le caratteristiche di queste particolari varietà. Purtroppo per la coomologia di Dolbeault non esiste un teorema corrispondente a quello di Nomizu per la coomologia di de Rham, ma bisogna fare ipotesi aggiuntive sulla struttura complessa. Inoltre la costruzione di un modello minimale di Dolbeault per la coomologia dell'algebra di Lie non è immediata come nel caso reale. A questo proposito una proprietà interessante è quella di struttura complessa nilpotente: un'algebra di Lie ha struttura complessa nilpotente se ne esiste una base tale che ogni generatore abbia differenziale dipendente solo dai generatori precedenti, allora in tal caso il modello minimale di Dolbeault si trova in modo naturale. In realtà però, anche se la struttura complessa non è nilpotente, è possibile costruire un modello minimale nel caso in cui l'algebra di Lie abbia dimensione 6, quindi la nilpotenza è una condizione sufficiente, ma non necessaria. Lo scopo della tesi è dunque fare una panoramica generale sui modelli minimali e sulle caratteristiche che comportano alle nilvarietà nel caso reale, calcolare praticamente in alcuni esempi la coomologia di Dolbeault per l'algebra di Lie, e infine studiare le strutture complesse nilpotenti.