Operatori differenziali di Sturm-Liouville e applicazioni ai problemi ai limiti

Nello studio di certe classi di equazioni differenziali del secondo ordine con le condizioni ai limiti si suppone, classicamente, che il problema sia definito in un intervallo compatto dell'asse reale, situazione che si definisce caso regolare. Si pensi ad esempio al problema ai limiti Lu = -u'' con u(0) = 0 e u (1) = 0 definito sull'intervallo [0;1]. Dimostrare che l'operatore differenziale, in questo caso L, è autoaggiunto (proprietà che permette di ottenere fondamentali risultati) è estremamente semplice; lo strumento necessario per tale dimostrazione è essenzialmente l'integrazione per parti. I problemi nascono quando da questa situazione si vuole passare a studiare tali equazioni in un intervallo dell'asse reale che sia aperto o illimitato. Tale situazione, affrontata nell'ultima parte di questo lavoro, viene definita caso singolare. L'obiettivo di questa tesi e quello di introdurre gli strumenti necessari per affrontare tale problema e provare alcuni risultati che si possono ottenere. Va osservato che sebbene gli strumenti introdotti ''ad hoc" servano per trattare il problema suddetto, verranno applicati anche alla situazione classica ottenendo (ovviamente) conferma dei risultati già noti dai corsi istituzionali di Analisi per quanto riguarda, ad esempio, la teoria nodale delle autofunzioni. La questione però che ci si trova ad affrontare quando si studiano gli operatori differenziali, prima ancora di arrivare al problema che questa tesi si propone di trattare, e che essi non sono limitati (ovvero continui). E' noto che la classe degli operatori limitati in uno spazio di Hilbert gode di proprietà rilevanti dovute essenzialmente alla continuità, tuttavia, di tale classe non fanno parte proprio gli operatori differenziali; operatori di cui ci si occuperà in dettaglio nella seconda parte di questa tesi. Una teoria operatoriale che abbia il presupposto di generalità non può trascurare gli operatori illimitati ne la famiglia molto importante e ampia degli operatori differenziali. Resa evidente la necessità di introdurre una teoria degli operatori non limitati, la prima parte della tesi è dedicata allo sviluppo teorico-astratto di questo argomento ed in particolare alla teoria spettrale e all'esistenza e alla costruzione di estensioni autoaggiunte di operatori simmetrici. Tali argomenti verranno poi usati nella seconda parte dove ci si occupa in particolare degli operatori di Sturm-Liouville e di affrontare il problema singolare. Al lettore si fa notare che in questa tesi viene data per scontata la conoscenza elementare della teoria degli operatori limitati, delle definizioni e delle proprietà fondamentali che li caratterizzano. Vogliamo infine fornire un'ulteriore motivazione per la quale si è scelto di studiare tali questioni. Tutta la tesi tratta esclusivamente problemi lineari: in realtà questi argomenti (ovvero i problemi lineari) costituiscono le basi essenziali per lo sviluppo dei ben piu complessi problemi non-lineari, i quali ne rappresentano inoltre la primaria applicazione. Si pensi ad esempio alla ben nota Equazione di Schrödinger della meccanica quantistica.