Rappresentazioni Tempo-Frequenza nella Classe di Cohen ed Operatori Pseudo-Differenziali

Questa tesi è dedicata allo studio delle rappresentazioni tempo-frequenza che si introducono per superare il problema associato alla classica traformata di Fourier, ovvero la questione legata alla lettura delle informazioni di un generico segnale f. Sappiamo, infatti, che la trasformata di Fourier contiene tutte le informazioni relative ad un generico segnale, tuttavia si ha una difficile lettura di tali informazioni riguardo i tempi, dal momento che restano nascoste nella fase complessa. Pertanto, la ricerca di strumenti matematici in grado di ridurre i problemi legati alla interpretazione delle informazioni porta all'introduzione delle rappresentazioni tempo-frequenza. In realtà non si riesce a superare l'ostacolo della lettura delle informazioni perchè si tratta di una questione legata al principio di indeterminazione di Heisenberg. In questa tesi ci siamo occupati di studiare pregi e difetti delle rappresentazioni tempo-frequenza introdotte, soffermandoci, in particolar modo, sul problema delle interferenze associato alla distribuzione di Wigner. Più precisamente nella tesi possiamo distinguere due parti distinte: nella prima illustriamo alcune tra le principali rappresentazioni tempo-frequenza utilizzate in Teoria dei Segnali, specificando per ognuna vantaggi e svantaggi e i collegamenti con gli operatori pseudo-differenziali; nella seconda, invece, abbiamo definito una nuova classe di rappresentazioni, chiamata WigU, associate a trasformazioni lineari U del piano, allo scopo di fornire una generalizzazione della classica distribuzione di Wigner, nell'ambito della quale sia possibile interpretare ed analizzare il fenomeno delle interferenze. Nel dettaglio, abbiamo dedicato il Capitolo 1 ad una serie di richiami sulla trasformata di Fourier, evidenziando gli aspetti che rendono tale trasformazione uno degli strumenti alla base della Teoria dei Segnali. Nei Capitoli 2 e 3 abbiamo introdotto alcune tra le principali rappresentazioni tempo-frequenza. Più in particolare, nel Capitolo 2 abbiamo definito la Short Time Fourier Transform e le proprietà ad essa associate, mentre nel Capitolo 3 ci siamo soffermati sulle rappresentazioni tempo-frequenza quadratiche più note, ovvero lo Spetrogramma, la distribuzione di Wigner e la classe di Cohen. Proprio dal materiale contenuto in questa sezione e, precisamente, dallo studio della rappresentazione di Wigner, è nato lo spunto per il lavoro di ricerca riservato alla seconda parte della tesi. Nel Capitolo 4, pertanto, abbiamo introdotto la classe di rappresentazioni tempo-frequenza WigU, cui si accennava prima, che ci ha permesso di fornire una generalizzazione della Wigner classica. Nel Capitolo 5, poi, abbiamo introdotto gli operatori pseudo-differenziali e abbiamo mostrato il legame che esiste tra tali operatori e le rappresentazioni tempo-frequenza descritte. Infine, negli ultimi due capitoli ci siamo occupati di analizzare il problema delle interferenze (ghost frequencies) legato alle rappresentazioni di tipo Wigner e, pertanto, abbiamo individuato due tecniche differenti per superare la questione dei cosiddetti fantasmi, seppur limitandoci ad una classe molto particolare di segnali. Il lavoro presentato in questa tesi può suggerire ulteriori approfondimenti legati alle nuove rappresentazioni tempo-frequenza ed alle loro connessioni con la classe di Cohen.