Teorema di Chow. Una dimostrazione per o-minimalità

All'interno dell'elaborato viene presentata una dimostrazione del teorema di Chow seguendo un'approccio o-minimale. Nel primo capitolo viene presentata la nozione di struttura o-minimale: questa è una collezione di famiglie di sottoinsiemi di R^n al variare di n, che siano algebre booleane e che posseggano buone proprietà di chiusura rispetto alle proiezioni. Diremo che un insieme X è definibile in una struttura S se appartiene a una famiglia della collezione S, mentre una mappa si dice definibile se il suo grafico è definibile. Una struttura S si dice o-minimale se in essa è definibile l'ordine del campo reale R e se i sottoinsiemi di R definibili in S sono tutte e sole le unioni finite di punti ed intervalli di R. In seguito vengono introdotti i chiusi analitici di una varietà complessa M, ovvero gli insiemi X che siano chiusi rispetto alla topologia di M e che siano localmente definiti come luoghi di zeri di funzioni olomorfe. Ne vengono presentate varie proprietà ed in seguito, tramite un procedimento diviso in quattro passi, viene dimostrato il teorema di Chow in versione o-minimale, che afferma che se X è un chiuso analitico di C^n che sia definibile in una struttura o-minimale (tramite l'usuale identificazione tra C^n e R^2n), allora in realtà X è algebrico, ovvero è luogo di zeri di polinomi. Il risultato chiave che ci consente di dimostrare il teorema di Chow in versione o-minimale afferma che data una funzione intera da C^n in C che sia olomorfa e definibile in una struttura o-minimale, allora essa è in realtà polinomiale. Nell'ultimo capitolo viene infine dedotto il teorema di Chow "classico" dalla versione o-minimale: viene dunque dimostrato che se X è un chiuso analitico nello spazio proiettivo complesso n-dimensionale, esso è in realtà un chiuso algebrico. Per fare ciò si sfrutta la struttura o-minimale subanalitica, che risulta essere la più piccola struttura o-minimale all'interno della quale siano definite le funzioni analitiche reali a dominio il cubo unitario. Infine, nell'elaborato è presente un'ampia introduzione storica in cui vengono illustrati gli approcci di Chow, di Remmert e Stein e di Serre al teorema "classico".