Dalla Geometria Proiettiva Sintetica di C. Segre alla geometrie ¿astratte" di Cayley-Klein: alcune tappe nella storia della geometria complessa.

Among the most important and famous results of Felix Klein (1849 -1925) there are that of the Erlangen Program. His major contribution was to provide models for various types of projective geometry such as hyperbolic, elliptical and Euclidean. Klein developed his research starting from the results of two other mathematicians: the projective geometry of C. Staudt (1798-1867); the definition of distance by A.Cayley (1821-1895), his way of using functions that involved the homogeneous coordinates of the points, as well as the idea of a conic as the absolute of the plane. According to Cayley, in fact, the metrical properties of the figures are the graphical properties that remain unchanged under projective transformations that leave fixed the absolute. Today, these ideas have found a compact and abstract arrangement in the so-called Cayley-Klein geometries, which are the focus of this thesis. Here a conic, the absolute of the space, is fixed a priori and are studied the movements that preserve the metric. In this way we can express all magnitudes and geometric concepts in a purely projective frame and it is possible to answer questions such as: How do you express, with respect to the absolute, the notions of distance and angle? How can be defined objects of elementary geometry such as circles and what features do they have? Do the "elementary" theorems remain valid/demonstrable in a projective general framework? The second part of the thesis studies how the Italian tradition of the Nineteenth century, in particular the figure of Corrado Segre and the School of Turin, has interacted with the structural style of mathematics that was spreading out mainly from Germany, and which contributions it has made. In particular, it describes the expansion of the group of projective transformations with those who Segre called anti-proiettività, the technical tool that has allowed to conceive the Complex Projective Geometry.

Tra i risultati più importanti e famosi di Felix Klein (1849 ¿1925) si annoverano quelli del Programma di Erlangen. Il suo contributo essenziale fu di fornire modelli proiettivi per vari tipi di geometria ad esempio l'iperbolica, l'ellittica e l'Euclidea. Klein elaborò la sua ricerca a partire dai risultati di altri due matematici: la geometria proiettiva di C. Staudt (1798-1867); la definizione di distanza di A.Cayley (1821¿1895), il suo modo di utilizzare funzioni che coinvolgessero le coordinate omogenee dei punti, nonché l'idea di una conica come assoluto del piano. Secondo Cayley, infatti, le proprietà metriche delle figure sono le proprietà grafiche che rimangono inalterate nelle trasformazioni proiettive che lasciano fisso l'assoluto. Oggi queste idee hanno trovato una sistemazione compatta e astratta nelle cosiddette geometrie di Cayley-Klein, che costituiscono l'oggetto principale di questa tesi. In esse viene fissata a priori una conica, l'assoluto dello spazio, e si studiano i movimenti che lasciano invariata la metrica. Si possono così esprimere tutte le grandezze e i concetti geometrici in un quadro puramente proiettivo ed è possibile rispondere a domande quali: Come si esprimono, rispetto all'assoluto, le nozioni di distanza e angolo? Come possono essere definiti gli oggetti della geometria elementare come le circonferenze e che caratteristiche hanno? I teoremi ¿elementari¿ rimangono validi/dimostrabili in un contesto proiettivo generale? La seconda parte della tesi studia come la tradizione italiana dell'Ottocento, in particolare la figura di Corrado Segre e la scuola di Torino, abbia interagito con lo stile strutturale della matematica che si stava diffondendo soprattutto dalla Germania e quali contributi abbia apportato. In particolare si descrive l'ampliamento del gruppo delle trasformazioni proiettive con quelle che Segre chiamò antiproiettività, lo strumento tecnico che ha permesso di concepire la Geometria Proiettiva Complessa.