Introduzione alla gravità cosmologia quantistica a loop

In general relativity there are solutions of the equations which show bad behaviors called singularities in certain regimes. A singularity is a point of the space-time for which the theory ceases to be reliable. We expect to find a description of the universe which avoid these points and produce realistic predictions instead. Furthermore we expect this kind of theory to be a quantum theory that avoids singularity on a general basis. There are some classical ways to avoid the Big Bang singularity but the mechanism is not general and works with particular initial condition or with particular matter content. The goal of this work is to describe a possible theory that performs this task exactly. This theory is called Loop Quantum Cosmology and is a direct application of the tool of Loop Quantum Cosmology (LQC). We sill show how the theory works with the rather simple case of the Big Bang singularity. The first step of the work is to show why a theory different than a straightforward quantization is necessary to avoid singularities; this is performed using the standard quantization of the Friedman equations: after writing a suitable Lagrangian that produces Friedman equations, the procedure of quantization of the constraint begins, with the usual Dirac methods. This procedure is called Wheeler-DeWitt quantization. The second step is to provide the tools for a loop quantization through the definition of the Ashtekar-Barbero variables (the densitized triad and the spin connection), the construction of the phase space of the theory and the definition of the operator algebra (the holonomy-flux algebra). The third step is to use the cosmological principle to simplify the problem in the usual way, i.e. with the use of homogeneity and isotropy conditions. Because LQG uses graph states to build the Hilbert space of the theory, the cosmological principle is used to choose, amongst the infinite possible graphs, a regular one that greatly simplify the computations. In order to include the cosmological principle it is necessary to enlarge the configuration space through a procedure called Bohr compactification. At this point it is possible to quantize the Friedman constraint with the new variables on the new phase space to get a finite difference equation that shows the behavior of the scale factor. A simple matter Lagrangian (free scalar field) is chosen to bring the computation and the analysis to their conclusion. It is possible at this point to relate and confront the Loop Quantum result with the Wheeler De Witt one, in order to acknowledge which kind of improvements the new theory brings to the resolution of the singularity.

In relatività generale ci sono soluzioni delle equazioni di campo che esibiscono comportamenti singolari in alcuni regimi. Una singolarità è un punto dello spazio-tempo nel quale la teoria cessa di essere affidabile. Ci si aspetta di trovare in ultima analisi una descrizione dell'universo che eviti sistematicamente le singolarità e produca predizioni realistiche. Esistono alcuni modi classici con cui è possibile evitare le singolarità ma sono meccanismi che necessitano di scelte molto particolari. L'obiettivo di questo lavoro è descrivere una possibile teoria che si occupi esattamente di questo. La teoria in questione è la cosmologia quantistica a loop (LQC). Mostreremo come si comporta la teoria nell'affrontare il caso della singolarità iniziale anche chiamata Big Bang. La prima parte del lavoro si occupa di mostrare perché è necessaria una teoria diversa da una diretta quantizzazione del problema per evitare la singolarità; questo si dimostra usando uno schema di quantizzazione standard di una delle equazioni di Friedman: dopo aver scritto una lagrangiana che riproduca il vincolo di Friedman, la procedura di quantizzazione è effettuata con gli usuali metodi di Dirac. La procedura in questione è chiamata quantizzazione à la Wheeler-DeWitt. Il secondo passo è fornire gli strumenti per una quantizzazione a loop attraverso la definizione delle variabili di Ashtekar-Barbero (la triade densitizzata e la connessione di spin), la costruzione dello spazio fasi della teoria e la definizione dell'algebra di operatori (algebra di flussi e olonomie). Il passo finale è usare il principio cosmologico per semplificare il problema nel solito modo, tramite, cioè, l'utilizzo delle condizioni di omogeneità e isotropia. Per ridurre gli operatori sarà inoltre necessaria la scelta di un grafo particolarmente regolare. È necessario anche allargare lo spazio delle configurazioni per procedere con la quantizzazione a loop tramite una procedura chiamata compattificazione à la Bohr. A questo punto siamo in grado di quantizzare il vincolo di Friedman con le nuove variabili per ottenere un'equazione alle differenze finite che mostra il comportamento del fattore di scala. Una Lagrangiana di materia molto semplice (campo scalare libero a massa nulla) viene scelta per risolvere un modello dall'inizio alla fine. È possibile, a questo punto, fare un confronto con lo schema di quantizzazione à la Wheeler-DeWitt e mostrare come viene risolto il problema della singolarità.