Metodi di approssimazione con funzioni a base radiale per determinare il prezzo delle opzioni europee e americane

La tesi si propone come uno studio dell'applicabilità dei metodi meshfree basati sulle funzioni a base radiale (RBF) per l'approssimazione della soluzione dell'equazione differenziale di Black-Scholes. Infatti, questi metodi sono relativamente facili da implementare in grandi dimensioni, possono fornire un ordine di convergenza elevato, sono flessibili rispetto alla geometria ed hanno un costo computazionale minore dei metodi basati su una griglia, dal momento che la generazione della griglia è spesso uno dei processi più costosi. In particolare, in questo elaborato viene applicato il modello di Black-Scholes alle opzioni europee e americane. Nel Capitolo 1 vengono quindi definite e classificate le opzioni e ricavata l'equazione di Black-Scholes sia nel caso in cui il prezzo è basato su un sottostante sia nel caso in cui è basato su più sottostanti. Nel Capitolo 2 vengono definite le funzioni a base radiale e ne vengono riportati alcuni esempi. Nel Capitolo 3 sono presentati metodi RBF utilizzati per approssimare il prezzo delle opzioni europee e americane sia nel caso unidimensionale che bidimensionale. I metodi RBF presentano però lo svantaggio di avere un elevato costo computazionale associato al sistema lineare da risolvere. Quindi, specialmente quando si trattano grandi insiemi di dati, è conveniente utilizzare i metodi di partizione dell'unità, detti PUM (dall'inglese Partition of Unity Methods), che permettono di ottenere un sistema lineare sparso e riducono significativamente lo sforzo computazionale. L'idea alla base del PUM è di suddividere il dominio aperto e limitato in sottodomini: in questo modo il problema iniziale viene decomposto in sottoproblemi che possono essere risolti riducendo il costo computazionale complessivo. Nel Capitolo 4. viene quindi utilizzato il metodo di partizione dell'unità per determinare i prezzi delle opzioni put e call americane. In particolare, utilizzando il software MATLAB, sono svolti esperimenti numerici nel caso di opzioni put americane su due sottostanti: i prezzi sono approssimati utilizzando sia discretizzazioni uniformi che non uniformi del dominio. Quindi sono confrontati i tempi di esecuzione, la "sparsità" della matrice dei coefficienti e l'accuratezza delle soluzioni. Infine, in Appendice, sono riportati i codici e le procedure MATLAB utilizzate per la creazione delle figure e degli esempi numerici presentati nell'elaborato.