Flusso di campi vettoriali su varietà e parentesi di Lie: un approccio non standard.

The aim of this work is to demonstrate a well-known result in differential geometry, namely that the flows of two vector fields commute if and only if their Lie bracket vanishes, using the tools provided by non-standard analysis. In particular, a rigorous treatment of the construction of the non-standard extension of the field of real numbers is provided, along with a generalization to a mathematical universe. Finally, the theoretical foundations previously established are used to define the non-standard extension of a differentiable manifold and to introduce the natural translation of vector fields into the infinitesimal setting.

L'obiettivo di questo lavoro è di dimostrare un ben noto risultato della geometria differenziale, ovvero che i flussi di due campi vettoriali commutano se e solo se la loro parentesi di Lie si annulla, tramite gli strumenti forniti dall'analisi non-standard. In particolare, si fornisce una rigorosa trattazione della costruzione dell'estensione non-standard del campo dei numeri reali ed una generalizzazione ad un universo matematico. Infine, si utilizzano le basi teoriche poste in precedenza per definire l'estensione non standard di una varietà differenziabile e per definire la naturale traduzione dei campi vettoriali in ambito infinitesimale.