Simmetria di soluzioni per l'equazione di Allen-Cahn

In this thesis we consider the Allen-Cahn equation in the plane, a partial differential equation of the second order. It is a particular version, in which we set the temporal derivative identycally null, of the diffusion equation, which is also called heat equation. These equations are used to model a certain number of physical situations, as, for example, in the case of the behaviour of the temperature in a certain region of the space-time. The present work is based on these two articles: "Saddle solution to the bistable diffusion equation¿ by H. Dang, P. C. Fife, L. A. Peletier, Z. Angew. Math. Phis. (1992) and ¿Symmetry of some entire solutions to the Allen-Cahn equation in two dimensions¿ by Changfeng Gui, J. Differential Equations, (2012). In the first Chapter we give the definition of saddle solution and we prove that such solution exists and it is unique for the Allen-Cahn equation in the plane. To this purpose we use a number of lemmas aiming at the proof of this result, and subsequently we state the three principal theorems of Chapter 1. In the first theorem we state that there exists a unique solution in the first quadrant, while in the second we state some properties of this solution, then in the third we operate an odd reflection with respect to the coordinate axes that gives us the saddle solution on all the plane. In the second Chapter we still consider the Allen-Cahn equation in the plane, then using a number of lemmas and basic properties, we can state and prove two theorems. The first theorem states that if we suppose that our solution to the equation is even in x and it satisfies a monotone condition with respect to x in the first quadrant, then, after a proper translation, it is even also in y and it satisfies a monotone condition with respect to y in the first quadrant. In the second theorem we suppose to have an entire solution to the equation with four ends. Then, after a proper translation and rotation, it is even both in x and in y and it satisfies monotone conditions with respect to x and y in the first quadrant. Finally, in the appendix are reported the results and the theorems that are widely used in this thesis.

In questa tesi consideriamo l'equazione di Allen-Cahn nel piano, un'equazione differenziale del secondo ordine alle derivate parziali. Si tratta della versione particolare, in cui poniamo la derivata temporale identicamente nulla, dell'equazione di diffusione, detta anche equazione del calore. Queste equazioni sono usate per modellizzare un certo numero di situazioni fisiche, come per esempio il comportamento della temperatura in una certa regione dello spazio-tempo. Questo lavoro è basato sui due seguenti articoli: ¿Saddle solution to the bistable diffusion equation¿ di H. Dang, P. C. Fife, L. A. Peletier, Z. Angew. Math. Phis. (1992) e ¿Symmetry of some entire solutions to the Allen-Cahn equation in two dimensions¿ di Changfeng Gui, J. Differential Equations, (2012). Nel primo capitolo diamo la definizione di soluzione sella, e dimostriamo che tale soluzione esiste ed è unica per l'equazione di Allen-Cahn nel piano. Per fare ciò ci serviamo di una serie di lemmi funzionali alla dimostrazione di questo risultato, e successivamente enunciamo i tre teoremi principali del capitolo 1. Nel primo teorema affermiamo che esiste una soluzione unica nel primo quadrante, nel secondo stabiliamo alcune proprietà di questa soluzione, infine nel terzo operiamo una riflessione dispari rispetto agli assi coordinati che ci dà la soluzione sella su tutto il piano. Nel capitolo 2 consideriamo sempre l'equazione di Allen-Cahn nel piano e, sempre usufruendo di una serie di lemmi e di proprietà basilari, possiamo enunciare e dimostrare due teoremi. Il primo teorema afferma che se supponiamo che la nostra soluzione all'equazione sia pari in x e soddisfi a una condizione di monotonia rispetto a x nel primo quadrante, allora dopo un'opportuna traslazione, essa è pari anche in y e soddisfa a una condizione di monotonia in y nel primo quadrante. Nel secondo teorema supponiamo di avere una soluzione intera all'equazione che abbia quattro ends. Allora dopo un'opportuna rototraslazione essa è pari sia in x che in y e soddisfa a delle condizioni di monotonia nella x e nella y nel primo quadrante. Nell'appendice sono infine riportati i risultati ed i teoremi che vengono ampiamente utilizzati in questa tesi.