Proprietà delle rappresentazioni tempo-frequenza quadratiche e loro compatibilità

In this document we study quadratic time-frequency representations based on the Wigner Transform. These representations have different uses and meaning; particulary, in the time-frequency analysis they allow us to find which signals frequencies exist and in which time frame. These representations provide us more more explicit and easily "readable" than the Fourier transform. The basic idea which underlies the time-frequency analysis is to look for features that represent and describe the energy density of a signal simultaneously in time and frequency in a single analytical representation and graphics. In this thesis we study the class of distributions, called class of Cohen, which includes all the covariant time-frequency distributions and it classes them under a feature called 'kernel' of the representation. The main properties that require a quadratic representation so that it can be interpreted as a time-frequency energy distribution of a signal are the following: the positivity, the marginal and the support. The positivity is very important, because in the time-frequency what we study is the energy spectrum and the signal, so if the energy is negative, would have no physical meaning, and thus diffcult to interpret and motivate. Furthermore, a time-frequency representation combines the concepts of instantaneous power (energy distribution of the signal with respect to time) and spectral density (energy distribution of the signal with respect to the frequencies). This interpretation is expressed by the marginal property, whereby the energy densities are the marginal densities of the time-frequency representation. It also requires that these representations maintain the supports of the signals considered, both with respect to the times and to the frequencies. However, i proves that these three important properties are not compatible for quadratic representations, and therefore can not be verified simultaneously.

In questo lavoro si studiano rappresentazioni tempo-frequenza quadratiche basate sulla trasformata di Wigner. Tali rappresentazioni hanno diversi utilizzi e significati; in particolare, nell'analisi tempo-frequenza ci permettono di individuare quali frequenze sono presenti in un segnale e in quali tempi. Queste ci garantiscono quindi studi più espliciti e facilmente "leggibili" rispetto alla trasformata di Fourier. L'idea di base sulla quale si fonda l'analisi tempo-frequenza è cercare funzioni in grado di rappresentare e descrivere la densità di energia di un segnale contemporaneamente nel tempo e nella frequenza, in un'unica rappresentazione analitica e grafica. In questa tesi si studia in particolare la classe di distribuzioni detta Classe di Cohen, che racchiude tutte le distribuzioni tempo-frequenza covarianti e le classifica in base ad una funzione detta 'kernel' della rappresentazione. Le principali proprietà che si richiedono ad una rappresentazione quadratica affinchè possa essere interpretata come distribuzione tempo-frequenza dell'energia di un segnale sono le seguenti: la positività, le marginali e i supporti. La positività risulta molto importante, in quanto in tempo-frequenza quello che studiamo è lo spettro di energia e non il segnale, dunque se l'energia fosse negativa, sarebbe priva di significato fisico, e quindi difficile da interpretare e motivare. Inoltre, una rappresentazione tempo-frequenza combina i concetti di potenza istantanea (distribuzione di energia del segnale rispetto ai tempi) e di densità spettrale (distribuzione di energia del segnale rispetto alle frequenze). Questa interpretazione è espressa dalle proprietà marginali, secondo le quali le densità energetiche sono densità marginali della rappresentazione tempo-frequenza. Si richiede inoltre che queste rappresentazioni mantengano i supporti dei segnali considerati, sia rispetto ai tempi che rispetto alle frequenze. Tuttavia, per rappresentazioni quadratiche si dimostra che queste tre importanti proprietà non sono compatibili, e dunque non possono essere verificate contemporaneamente.